Question

4．有一塊半徑為R=60cm的均勻薄木板，現在從圓板上挖出一個半徑為r=30cm的內切薄圓板，如圖所示，則剩余部分的重心與大圓心的距離是10cm．

Answer 1

分析 設金屬片厚為h，密度為ρ，假設剩余部分的重心還在O點不變，則必須在大圓上的對稱位置再挖去一個與原來等大的小圓孔，由于左邊挖去一個半徑為30的小圓孔，必須在它的對應位置（左邊）填上一個半徑為30的小圓孔，再設挖空后的圓片的重心在C點，經過一“挖”一“填”，再將①和②綜合在一起，就等效于以C為支點的杠桿，如圖丙，由杠桿平衡的條件可得：G′O₂O=GOC，求出OC的長即可．

解答 解：①設金屬片厚為h，密度為ρ，（如圖甲）
假設剩余部分的重心還在O點不變，則必須在大圓上的對稱位置再挖去一個與原來等大的小圓孔，
則剩下的部分重力為：G=πR²hρg-2π•（$\frac{R}{2}$）²Hρg=$\frac{1}{2}$πR²ρg=450πhρg，
②（如圖乙）
由于左邊挖去一個半徑為15的小圓孔，必須在它的對應位置（左邊）填上一個半徑為15的小圓孔，
則它的重力為：G′=π（$\frac{R}{2}$）²hρg=225πhρg，重心在O₂上，且OO₂=30，
設挖空后的圓片的重心在C點，經過一“挖”一“填”，再將①和②綜合在一起，就等效于以C為支點的杠桿，
如圖丙，由杠桿平衡的條件可得：G′O₂C=GOC，
即：225πhρg•（30-OC）=450πhρgOC，
解得：OC=10cm．
故答案為：10．

點評 本題考查的圓的綜合題目，用得到的知識點有重心的性質、重力公式以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是利用數形結合的數學方法經過一“挖”一“填”，再將①和②綜合在一起，就等效于以C為支點的杠桿．