Question

16．如圖所示，半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道豎直固定，其右方有底面半徑為r，高度為h的轉筒，轉筒頂端與圓弧軌道低端B等高，轉筒的筒壁開有一寬度與小球直徑接近的狹縫，其軸線與圓弧軌道在同一豎直平面內，開始時狹縫也在這一平面內的圖示位置．今讓一質量為m的小球自A點由靜止開始沿圓弧軌道滑下，到達B點時觸動光電裝置，使轉筒立刻以某一角速度勻速轉動起來，不計一切摩擦阻力．
（1）小球到達B點時對軌道的壓力大小F_B
（2）如果小球從狹縫的中間位置C點進入轉筒，求轉筒軸線距B點的距離L．
（3）通過調節L的長度，使小球能夠恰好從狹縫進入轉筒后，再從狹縫射出轉筒，并且轉筒轉過的圈數最少，求L的長度和轉筒轉動的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）小球從A到B的過程，只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律求出小球到達B點的速度，在B點，由合力提供向心力，根據向心力公式及牛頓第三定律即可求解；
（2）小球從C點拋出后做平拋運動，根據平拋運動的基本規律即可求解轉筒軸線距B點的距離L；
（3）小物塊最終正好進入小孔，所以在小球做平拋運動的時間里，轉筒正好轉了n圈，即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$（n=1，2，3…）．

解答 解：（1）小球從A到B的過程，根據機械能守恒定律得：
   mgR=$\frac{1}{2}$mv_B² ①
在B點，由向心力公式可得  N-mg=$\frac{mv_B^2}{R}$  ②
聯立解得 N=3mg
根據牛頓第三定律，小球對軌道的壓力大小等于支持力，方向豎直向下 F_B=N=3mg  ③
（2）小球從C點拋出后做平拋運動，根據平拋運動規律得
   $\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}g{t^2}$  ④
   L-r=v_Bt ⑤
聯立①④⑤可得  L=r+$\sqrt{2Rh}$
（3）當小球從B到射入轉筒，轉筒轉過1圈，小球穿過轉筒，轉筒轉過半圈時，轉筒轉過的圈數最少 L-r=v_Bt₁ ⑥
又ωt₁=2π  ⑦
    2r=v_Bt₂ ⑧
ωt₂=π  ⑨
聯立①⑥⑦⑧⑨可得 L=5r，ω=$\frac{{π\sqrt{2gR}}}{2r}$．
答：
（1）小球到達B點時對軌道的壓力大小F_B是3mg．
（2）如果小球從狹縫的中間位置C點進入轉筒，轉筒軸線距B點的距離L是r+$\sqrt{2Rh}$．
（3）L的長度是5r，轉筒轉動的角速度ω是$\frac{{π\sqrt{2gR}}}{2r}$．

點評 本題要分析小球的運動情況，把握每個過程的物理規律，知道圓周運動的周期性，運用圓周運動、平拋運動與機械能守恒定律等知識解答．