Question

【題目】在桌面上有一倒立的玻璃圓錐，其頂點恰好與桌面接觸，圓錐的軸（圖中虛線）與桌面垂直，過軸線的截面是邊長為a的等邊三角形，如圖所示．有一半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的地面上，光束的中心軸與圓錐的軸重合．已知玻璃的折射率為，光在空氣中傳播的速度為c.求：

（1）光束在桌面上形成的光斑半徑R

（2）光束在玻璃中傳播的時間t

Answer 1

【答案】（1）R=2r（2）

【解析】

平行光束垂直入射到圓錐的底面上，方向不變射到母線上發生折射，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率為1.5，可得臨界角小于45°，所以會發生光的全反射，反射光線卻恰好垂直射出．故可根據幾何關系可確定光斑的半徑光束在桌面上形成的光斑半徑R；根據幾何知識求光束在玻璃中傳播的距離，由求出光束在玻璃中傳播的速度，從而求得光束在玻璃中傳播的時間t．

（i）設玻璃的臨界角為C，根據①，得②；

光線垂直圓錐底面BC射入玻璃時，直線傳到AB面．由幾何關系可知入射角 ，

由于，所以光線會在AB面上發生全反射③，

光路如圖，由幾何關系知，反射光線恰好垂直AC面射出④，

由幾何關系可知：AE=2r，在△AEG中，由于∠AEG=∠AGE=30°，則AG=AE=2r⑤，

所以，由旋轉對稱性可知光束在桌面上形成的光斑半徑R=2r⑥；

（ii）由于△AEH為等邊三角形，所以EF=AN，

故光線在玻璃中的傳播距離始終為⑦，

其余入射點的光線在玻璃中的傳播距離類似證明均為L，
光線在玻璃中的傳播時間⑧，而⑨，

聯立解得⑩；

另解：（ii）如圖，經過任意入射點P的光線在玻璃中的傳播傳播路徑為PQS，由于△AQT為等邊三角形，所以QS=AJ，

故光線在玻璃中的傳播距離始終為⑦
光線在玻璃中的傳播時間⑧，而⑨，

聯立解得⑩