Question

如圖所示，圓心為坐標原點、半徑為R的圓將xoy平面分為兩個區域，即圓內區域Ⅰ和圓外區域Ⅱ．區域Ⅰ內有方向垂直于xoy平面的勻強磁場B₁．平行于x軸的熒光屏垂直于xoy平面，放置在坐標y=-2.2R的位置．一束質量為m電荷量為q動能為E₀的帶正電粒子從坐標為（-R，0）的A點沿x軸正方向射入區域Ⅰ，當區域Ⅱ內無磁場時，粒子全部打在熒光屏上坐標為（0，-2.2R）的M點，且此時，若將熒光屏沿y軸負方向平移，粒子打在熒光屏上的位置不變．若在區域Ⅱ內加上方向垂直于xoy平面的勻強磁場B₂，上述粒子仍從A點沿x軸正方向射入區域Ⅰ，則粒子全部打在熒光屏上坐標為（0.4R，-2.2R）的N點．求
（1）打在M點和N點的粒子運動速度v₁、v₂的大小．
（2）在區域Ⅰ和Ⅱ中磁感應強度B₁、B₂的大小和方向．
（3）若將區域Ⅱ中的磁場撤去，換成平行于x軸的勻強電場，仍從A點沿x軸正方向射入區域Ⅰ的粒子恰好也打在熒光屏上的N點，則電場的場強為多大？

Answer 1

分析：帶電粒子在磁場中受到洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，洛倫茲力始終與速度相垂直，因此洛倫茲力不做功，所以動能不變．帶電粒子在磁場中運動，由左手定則可判定洛倫茲力方向．從而可根據運動軌跡來確定洛倫茲力的方向，最終能得出磁感應強度大小與方向．當粒子垂直射入勻強電場時，粒子做類平拋運動，從而利用平拋運動規律來解題．

解答：解：（1）粒子在磁場中運動時洛倫茲力不做功，打在M點和N點的粒子動能均為E₀，速度v₁、v₂大小相等，設為v，由E0=

1

2

mv2可得 v=

2E0 m

（2）如圖所示，區域Ⅱ中無磁場時，粒子在區域Ⅰ中運動四分之一圓周后，從C點沿y軸負方向打在M點，軌跡圓心是o₁點，半徑為r₁=R
區域Ⅱ有磁場時，粒子軌跡圓心是O₂點，半徑為r₂，
由幾何關系得r₂²=（1.2R）²+（r₂-0.4R）²
解得r₂=2R
由qvB=m

v2

r

得B=

mv

qr

故B1=

2mE0

qR

，方向垂直xoy平面向外．
B2=

2mE0

2qR

，方向垂直xoy平面向里．
（3）區域Ⅱ中換成勻強電場后，粒子從C點進入電場做類平拋運動，則有1.2R=vt，
0.4R=

1

2

qE

m

t2
解得場強 E=

10E0

9qR

．

點評：帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，處理時注意：定圓心、畫軌跡、求半徑；而在電場中做類平拋運動，處理時：電場強度方向做勻加速直線運動，垂直電場強度方向做勻速直線運動．