Question

我國自行研制的“神舟五號”載人飛船載著中國第一代宇航員楊利偉，于2003年10月15日9時在酒泉發射場由“長征二號F”大推力運載火箭發射升空，并按預定軌道環繞地球飛行14圈后，于10月16日6時23分安全返回落在內蒙古的主著陸場。

(1)設“神舟五號”飛船在飛行過程中繞地球沿圓軌道運行，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，飛船繞地球運行的周期為T。試計算飛船離地面的平均高度h。

(2)已知將質量為m的飛船在距地球中心無限遠處移到距離地球中心為r處的過程中，萬有引力做功為W=，式中G為萬有引力恒量，M為地球的質量。那么將質量為m的飛船從地面發射到距離地面高度為h的圓形軌道上，火箭至少要對飛船做多少功?(為簡化計算，不考慮地球自轉對發射的影響)

Answer 1

(1)設飛船質量為m，地球質量為M，由萬有引力定律和牛頓第二定律有

又

解得飛船離地面的高度h=

(2)若將飛船由距地球無窮遠處移至距地表為h處，引力做功為：W₁=

若將飛船由距地球無窮遠處移至地球表面，引力做功為：W₂=

所以將飛船由地球表面發射到距離地面h高的軌道上的過程中，引力做功為：

W₃=W₁-W₂=

設飛船在距離地面高為h的圓軌道上運動時的速度為v，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：

設將飛船送入沿距地面高度為h的圓形軌道運行的過程中，火箭要對飛船所做的功為W，根據動能定理有：W+W₃=

解得：W=或W=