Question

用一個半球形容器和三個小球可以進行有趣的碰撞實驗.三個質量分別為m₁、m₂、m₃的小球1,2,3，半徑相同且可視為質點,自左向右依次靜置于容器底部的同一直線上彼此相互接觸.若將質量為m₁的小球移至左側離容器底高h處無初速釋放,如圖所示,則三個小球間將發生一系列碰撞.已知容器內側面光滑,半徑為R,各小球間的碰撞時間極短且碰撞時無機械能損失.

(1)若三個小球的質量均為m且令h遠小于R,則小球在碰撞時將交換速度,且三個小球組成的系統的運動是周期性的,求此系統的運動周期T.

(2)若三個小球的質量不同且成一定比例,當h為某一定值h₀時,球1與球2碰撞,球2再與球3碰撞,經上述碰撞后三個小球的動量大小之比為1∶1∶2,方向相同,且球3恰能滑出容器,求三個小球的質量之比m₁∶m₂∶m₃和h₀的值.

Answer 1

（1）球1與球2、球2與球3碰撞后交換速度，球3滑至h高處，再滑回與球2碰撞，而球2與球1碰撞，又使球1滑回h高處，此后系統將做周期性運動，又因為h＜＜R

T₁=T₃=2π①

而T=+②

由①②得T=2π.③

(2)依題意三個球碰后的動量之比為1∶1∶2,令p₁′=p，p₂′=p,p₃′=2p

由系統動量守恒得球1碰前動量

p₁=p₁′+p₂′+p₃′=4p④

由動量守恒得球1與球2碰后球2的動量

p₂=p₁-p₁′=3p⑤

碰撞時無機械能損失，則有

+⑥

由⑥式得⑦

球2與球3碰撞時動量守恒且無機械能損失，則有

⑧

由⑧式得⑨

由⑦⑨得m₁∶m₂∶m₃=10∶6∶3⑩

對球3，碰后恰滑出容器，由機械能守恒得

=m₃gR

而對球1，剛滑下直至與球2碰撞前機械能守恒，則

=m₁gh₀

解得：h₀=0.36R