Question

9．如圖甲所示，彎曲部分AB和CD是兩個半徑都為0.3m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，中間的BC段是豎直的薄壁細圓管（細圓管內徑略大于小球的直徑），分別與上下圓弧軌道相切連接，BC段的長度L為0.2m．下圓弧軌道與光滑水平地面軌道相切，其中D、A分別是上下圓弧軌道的最高點與最低點，整個軌道固定在豎直平面內．小球以一定的初速度從A點水平進入軌道（計算結果可以用根式表示）

（1）如果小球從D點以5m/s的速度水平飛出，求落地點與D點的水平距離
（2）如果小球能從D點以5m/s的速度水平飛出，求小球在BC段運動的時間
（3）如果在D點右側平滑連接一半徑R=0.4m的半圓形光滑軌道DEF，如圖乙所示，要使小球在運動過程中能不脫離軌道，求初速度大小的范圍．

Answer 1

分析 （1）由平拋運動規律可求得落地點與D點的水平距離；
（2）根據機械能守恒定律可求得B點和C點的速度，BC段為豎直上拋運動，由平拋運動規律可求得BC段的平均速度，再由速度公式可求得運動時間；
（3）要使小球不脫離軌道，則小球可能由D點返因A點，也可能超過D點后沿DEF軌道回到A點，則可知初速度的范圍．

解答 解：（1）由平拋運動規律可得：
h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
得t₁=0.4s
由x=v₀t₁
得x=2m；
（2）由B到D由機械能守恒定律可得：
mgh_BD+$\frac{1}{2}$mv_D²=$\frac{1}{2}$mv_B²
由C到D由機械能守恒定律可得：
mgh_CD+$\frac{1}{2}$mv_D²=$\frac{1}{2}$mv_C²
BC段的平均速度$\overline{v}$=$\frac{{v}_{B}+{v}_{c}}{2}$
小球經過BC段的時間t=$\frac{{h}_{BC}}{\overline{v}}$
聯立解得：
t=0.02s；
（3）計論一：
小球進入軌道最高運動到C點，之后原路返回，由機械能守恒定律，有：
mgh_AC=$\frac{1}{2}$mv₁²
得v₁=$\sqrt{10}$m/s
討論二：小球進入軌道后恰好能通過圓弧最高點D，之后沿DEF運動而不脫離軌道，在D點，有mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由機械能守恒定律可得：
有：mgh_AD+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₂²
得v₂=2$\sqrt{5}$m/s
所以要使小球在運動過程中能不脫離軌道，初速度大小的范圍為：
v₁$≤\sqrt{10}$m/s或v₂$≥2\sqrt{5}$m/s
答：（1）如果小球從D點以5m/s的速度水平飛出，落地點與D點的水平距離為2m
（2）如果小球能從D點以5m/s的速度水平飛出，小球在BC段運動的時間為0.02s；
（3）如果在D點右側平滑連接一半徑R=0.4m的半圓形光滑軌道DEF，如圖乙所示，要使小球在運動過程中能不脫離軌道，初速度大小的范圍v₁$≤\sqrt{10}$m/s或v₂$≥2\sqrt{5}$m/s

點評 本題考查機械能守恒定律的應用以及平拋運動規律的應用，要注意正確分析物理過程，正確進行受力分析，再通過平衡條件等選擇正確的物理規律列式求解．關鍵要注意正確選擇物理過程．