Question

從地面上以初速度v豎直向上拋出一質量為m的球，若運動過程中受到的空氣阻力與其速率成正比關系，球運動的速率隨時間變化規(guī)律如圖所示，t₁時刻到達最高點，再落回地面，落地時速率為v₁，且落地前球已經做勻速運動．求：

（1）球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功；
（2）球拋出瞬間的加速度大小；
（3）球上升的最大高度H．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接運用動能定理可求解球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功-．
（2）落地前勻速運動，則mg-kv₁=0．剛拋出時加速度大小為a，則根據牛頓第二定律mg+kv=ma，即可解得球拋出瞬間的加速度大小a．
（3）上升時根據牛頓第二定律-（mg+kv）=ma可計算加速度a，取極短△t時間，速度變化△v，有：△v=a△t，上升全程∑△v=0-v=∑a△t，把a值代入，分析計算，可求得球上升的最大高度H．
解答：解：（1）由動能定理得

克服空氣阻力做功

（2）空氣阻力f=kv
落地前勻速運動，則mg-kv₁=0
剛拋出時加速度大小為a，則
mg+kv=ma
解得
（3）上升時加速度為a，-（mg+kv）=ma

取極短△t時間，速度變化△v，有：

又v△t=△h
上升全程
則

答：（1）球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功為；
（2）球拋出瞬間的加速度大小為；
（3）球上升的最大高度H為．
點評：本題綜合運用了動能定理和牛頓運動定律，運用動能定理和牛頓運動定律解題注意要合理地選擇研究的過程，列表達式求解．本題第（3）問較難，對數學的要求較高．