Question

（2005?海門市模擬）4個相同的木塊，每塊的質量都是m，每塊均可以看作質點，放置在傾角為θ的斜面上，相鄰兩木塊間的距離為l，最下端的木塊距底端也是l，木塊與斜面間的動摩擦因數為μ，如圖所示，在開始時刻，第一個木塊以初速度v₀沿斜面下滑，其余所有木塊都靜止．由于第一個木塊的下滑將依次引起一系列的碰撞，每次發生碰撞時間都很短，在發生碰撞后，發生碰撞的木塊都粘在一起運動，直到最后第4個木塊到達斜面底端時，剛好停在底端．求：
（1）第一次碰撞前第一個木塊的動能E₁．
（2）第一次碰撞時系統損失的機械能△E₁．
（3）在整個過程中由于碰撞而損失的總機械能△E．

Answer 1

分析：（1）對第一個木塊下滑的過程中，由動能定理可求出碰撞前第一個木塊的動能E₁．
（2）由動量守恒可求出木塊1碰撞后的速度大小；碰撞前因摩擦力做功，導致小木塊機械能損失；再求出碰撞后小木塊動能的減小導致機械能損失；從而兩者之和即為從第一個小木塊開始運動到第一次碰撞后系統損失的機械能；
（3）通過力做功表達式求出碰撞整個過程中，重力、摩擦力做功；再根據功能關系可求出在碰撞中總機械能損失．

解答：解：（1）對第一個木塊下滑的過程中，由動能定理得
    mglsinθ-μmglcosθ=E₁-

1

2

mv₀²?
即   E₁=mglsinθ-μmglcosθ+

1

2

mv₀²
（2）第一個木塊與第二個木塊碰撞過程中，由動量守恒定律近似得
  mv₁=2mv₁′，即v₁′=

1

2

v₁　　　                
E₁′=

1

2

×2mv₁′²，
則得△E₁=E₁-E₁′=

1

2

E₁=

1

2

（mglsinθ-μmglcosθ+

1

2

mv₀²）　              
（3）由總能量守恒可得：
  mglsinθ+2mglsinθ+3mglsinθ+4mglsinθ+

1

2

mv₀²=△E+μmglcosθ+2μmglcosθ+3μmglcosθ+4μmglcosθ 
即△E=10mgl（sinθ-μcosθ）+

1

2

mv₀²．?
答：
（1）第一次碰撞前第一個木塊的動能E₁是mglsinθ-μmglcosθ+

1

2

mv₀²．
（2）第一次碰撞時系統損失的機械能△E₁是

1

2

（mglsinθ-μmglcosθ+

1

2

mv₀²）．　
（3）在整個過程中由于碰撞而損失的總機械能△E是10mgl（sinθ-μcosθ）+

1

2

mv₀²．

點評：本題是力學綜合題，考查動能定理、動量守恒定律、功的公式、功與能關系等規律，同時動量守恒定律注意矢量性及功的正負．