Question

2．一輛摩托車由靜止開始在盡量短的時(shí)間內(nèi)走完直道運(yùn)動(dòng)，然后駛?cè)胍欢伟雸A形的彎道，但在彎道上行駛時(shí)不能太快，以免因離心作用而沖出車道，摩托車在直道和彎道運(yùn)動(dòng)的有關(guān)數(shù)據(jù)見表格．求摩托車在直道上行駛所用的最短時(shí)間．

起動(dòng)加速度a1	4m/s2
制動(dòng)加速度a2	8m/s2
直道最大速度v1	40m/s
彎道最大速度v2	20m/s
直道長(zhǎng)度s	228m

某同學(xué)是這樣解的：要使摩托車在直道上所用時(shí)間最短，應(yīng)先由靜止加速到最大速度v₁=40m/s，然后再減速到v₂=20m/s，t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=…； t₂=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}$-$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}$=…；t=t₁+t₂．你認(rèn)為這位同學(xué)的解法是否合理？若合理，請(qǐng)完成計(jì)算過程；若不合理，請(qǐng)用你自己的方法進(jìn)行詳細(xì)論證．

Answer 1

分析 通過摩托車先勻加速到最大速度40m/s，在勻減速到20m/s經(jīng)歷的位移，得出總位移超過直道的長(zhǎng)度，知摩托車不能達(dá)到最大速度40m/s．結(jié)合速度位移公式，抓住位移之和等于218m求出摩托車的最大速度，從而結(jié)合速度時(shí)間公式求出在直道所需的最短時(shí)間．

解答 解：該同學(xué)的解法不合理；
如果摩托車由靜止開始加速到直道最大速度v₁，則有：t₁=$\frac{40}{4}$=10s，
這段時(shí)間內(nèi)的位移為：x₁=$\frac{1}{2}$40×10=200m，
然后再減速到：v₂=20m/s，t₂=$\frac{40-20}{8}$=2.5s，
這段時(shí)間內(nèi)的位移為：x₂=$\frac{1}{2}$（20+40）×2.5=75m，
則x₁+x₂=275m＞218m，說明汽車不能加速到40m/s．
設(shè)摩托車加速的最大速度為v_m，
則加速階段的位移為：x′₁=$\frac{{v}_{m}^{2}}{2{a}_{1}}$．
隨后減速到v₂發(fā)生的位移為：x′₂=$\frac{{v}_{m}^{2}-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}$．
且x′₁+x′₂=s           
代入數(shù)據(jù) 解得：v_m=36m/s    
所以：t′₁=$\frac{36}{4}$=9s，
t′₂=$\frac{36-20}{8}$=2s，
摩托車在直道上行駛所用的最短時(shí)間為：t=t′₁+t′₂=11s．
若摩托車在直道的最大速度v₁=32m/s，
t″₁=$\frac{32}{4}$=8s，
s₁=$\frac{1}{2}$32×8=128m，
t″₂=$\frac{32-20}{8}$=1.5s，
s₂=$\frac{1}{2}$×（32+20）×1.5=39m
t₃=$\frac{218-128-39}{32}$=1.6s，
所以t_總=8+1.5+1.6=11.1s，
由以上可知，該同學(xué)的解法不合理．
答：該同學(xué)的解法不合理；摩托車在直道上行駛所用的最短時(shí)間是11.1s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵在于能夠證明摩托車先加速至某一速度，再減速到20m/s所用時(shí)間最短，然后才能結(jié)合速度位移公式和速度時(shí)間公式進(jìn)行求解．