Question

小明跟著爸爸蕩秋千的情景如圖所示．設擺繩長為3m，懸點在橫梁上，小明連同底板質量共為60kg．開始時小明在爸爸的外力作用下使擺繩與豎直方向成37°角處于靜止狀態．某時刻爸爸放手讓秋千由靜止開始擺動，假設擺動過程中，小明與底板始終沒有相對運動．當他運動到最低點時擺線拉力共為780N．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小明爸爸施加的最小外力；
（2）取懸點處為零勢能參考平面，放手前小明及底板的重力勢能；
（3）通過計算說明秋千第一次擺到另一側的最大偏角與37°的關系．

Answer 1

分析：（1）當小明爸爸施加的最小外力方向與擺繩垂直時，外力最小．根據平衡條件求解最小的外力．
（2）取懸點處為零勢能參考平面，確定出放手前小明及底板到懸點的高度，由于放手前小明及底板在懸點的下方，其重力勢能為負值．
（3）根據小明運動到最低點時擺線拉力共為780N，由牛頓第二定律小明經過最低點時的速度，分析在這個過程中有無空氣阻力．若存在阻力，小明在向下擺動過程中機械能減少，秋千第一次擺到另一側的最大偏角將小于37°．

解答：解：
（1）如圖所示，當外力與擺繩垂直時最小．F_min=mgsin37°=360N
（2）E_p=-mglcos37°=-1440J
（3）設小明第一次向下擺動過程中，動能的變化量為△E_K，重力勢能的變化量為△E_GP
小明在最低點時，由牛頓第二定律得：
    F-mg=m

υ2

l

解得υ=3m/s
經過最低點，小明與底板的動能為EK=

1

2

mυ2=270J
小明與底板重力勢能的減小量為△E_Gp=360J，則有△E_GP＞△E_K
說明小明在向下擺動過程中機械能減少，秋千第一次擺到另一側的最大偏角小于37°．
答：
（1）小明爸爸施加的最小外力是360N；
（2）取懸點處為零勢能參考平面，放手前小明及底板的重力勢能是-1440J；
（3）秋千第一次擺到另一側的最大偏角小于37°．

點評：本題第（1）問可以用作圖法分析最小值的條件，也可以在理解的基礎上加強記憶．重力勢能要注意正負號，物體位置低于參考平面時，其重力勢能為負值．