Question

4．飛行時間質譜儀可以根據帶電粒子的飛行時間對氣體分子進行分析．如圖所示，在真空狀態下，自脈沖閥P噴出微量氣體，經激光照射產生不同正離子，自a板小孔進入a、b間的加速電場，從b板小孔射出，沿中線方向進入M、N板間的方形區域，然后到達緊靠在其右側的探測器．已知極板a、b間的電壓為U₀，間距為d，極板M、N的長度和間距均為L．不計離子重力及經過a板時的初速度．
（1）若M、N板間無電場和磁場，請推導出離子從a板到探測器的飛行時間t與比荷k（k=$\frac{q}{m}$，q和m分別為離子的電荷量和質量）的關系式；
（2）若在M、N間只加上偏轉電壓U₁，請論證說明不同正離子的軌跡是否重合；
（3）若在M、N間只加上垂直于紙面的勻強磁場．已知進入a、b間的正離子有一價和二價的兩種，質量均為m，元電荷為e．要使所有正離子均能通過方形區域從右側飛出，求所加磁場的磁感應強度的最大值B_m．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做勻加速直線運動，由動能定理可求得粒子的速度；再由運動的合成和分解可求得運動時間；
（2）帶電離子在平行板M、N之間做類平拋運動，根據運動的合成和分解可明確軌跡的表達式，則可明確軌跡是否重合；
（3）當MN間的磁感應強度大小為B時，離子做圓周運動，根據圓周運動的知識和幾何關系可求得磁感應強度的最大值．

解答 解：（1）帶電離子在平行板a、b之間運動時，由動能定理得：qU₀=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，即：v=$\sqrt{2k{U}_{0}}$  …①
帶電離子在平行板a、b之間的加速度為：
a₁=$\frac{q{U}_{0}}{dm}$，即：a₁=$\frac{k{U}_{0}}p9vv5xb5$．
所以帶電離子在平行板a、b之間的運動時間為：
t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$$\frac{d\sqrt{2k{U}_{0}}}{k{U}_{0}}$；
帶電離子在平行板M、N之間的運動時間為：
t₂=$\frac{L}{v}$=$\frac{L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$；
所以帶電離子從a板到探測器的飛行時間為：
t=t₁+t₂=$\frac{2d+L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$．
（2）帶電離子在平行板M、N之間水平位移為x時，在豎直方向位移為y，
水平方向滿足：x=vt，
豎直方向滿足：y=$\frac{1}{2}$a₂t²，
加速度a₂=$\frac{k{U}_{1}}{L}$，
聯立解得：y=$\frac{{U}_{1}{x}^{2}}{4L{U}_{0}}$   …②
②式是正離子的軌跡方程，與正離子的質量和電荷量均無關系，所以不同正離子的軌跡是重合的．
（3）當M、N間磁感應強度大小為B時，離子做圓周運動，滿足：Bvq=$\frac{m{v}^{2}}{R}$…③
聯立①③兩式解得：帶電離子的軌道半徑為：R=$\sqrt{\frac{2{U}_{0}m}{{B}^{2}q}}$…④
上式表明：在離子質量一定的情況下，離子的電荷量越大，在磁場中做圓周運動的半徑越小，也就越不容易穿過方形區從右側飛出．
所以，要使所有的一價和二價正離子均能通過方形區從右側飛出，只要二價正離子能從方形區飛出即可．
當二價正離子剛好能從方形區域飛出時的磁感應強度為滿足題目條件的磁感應強度的最大值
設當離子剛好通過方形區從右側飛出時的軌道半徑為R，
由幾何關系得，R²=L²+（R-$\frac{L}{2}$）²，
解得：R=$\frac{5L}{4}$…⑤
將二價正離子的電量2e代入⑦式得：R=$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{{B}^{2}e}}$…⑥
聯立⑧⑨可解得：B=$\frac{4}{5L}$$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{e}}$，此值即為所求的磁感應強度的最大值B_m．
答：（1）離子從a板到探測器的飛行時間t=$\frac{2d+L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$；
（2）若在M、N間只加上偏轉電壓U₁，正離子的軌跡方程，與正離子的質量和電荷量均無關系，所以不同正離子的軌跡是重合的；
（3）要使所有正離子均能通過方形區域從右側飛出，所加磁場的磁感應強度的最大值是$\frac{4}{5L}$$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{e}}$．

點評 本題考查了電荷的加速與電荷的偏轉，關鍵將電荷的偏轉進行分解，知道在水平方向和豎直方向上的運動規律，關鍵要把動能定理、類平拋運動規律、牛頓運動定律及其相關知識結合解答．