Question

【題目】如圖甲所示是游樂場中過山車的實物圖片，可將過山車的一部分運動簡化為圖乙的模型圖．模型圖中光滑圓形軌道的半徑R=20m，該光滑圓形軌道固定在傾角為θ=37°斜軌道面上的Q點，圓形軌道的最高點A與傾斜軌道上的P點平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現使質量m=100kg的小車（視為質點）從P點以一定的初速度v0沿斜面向下運動，不計空氣阻力，已知斜軌道面與小車間的動摩擦力為μ= ，取g=10m/
s2 ， sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan18.5°= ．若小車恰好能通過圓形軌道的最高點A處，則：

（1）小車在A點的速度為多大？
（2）小車運動到圓形軌道最低點時對軌道的壓力大小？
（3）初速度v0的大小？

Answer 1

【答案】
（1）解：由于小車恰能通過A點，由重力提供小車圓周運動所需要的向心力，根據牛頓第二定律得：

mg=m

解得：vA= = m/s=10 m/s ①

答：小車在A點的速度為 m/s．

（2）解：如圖，小車經軌道最低點時對軌道壓力最大．設在最低點軌道對小車的支持力為

則有： ﹣mg=m ②

小車由D到A的運動過程機械能守恒

則有：2mgR= ﹣ ③

由①②③得： ．

由牛頓第三定律，在D點小車對軌道的壓力 = =6mg=6000N．

答：小車運動到圓形軌道最低點時對軌道的壓力大小為6000N．

（3）解：設PQ距離為L，對小車由P到A的過程應用動能定理

得：﹣μmgLcos37°= ﹣ ④

由幾何關系：L= =60m⑤

由①④⑤得：

答：初速度v0的大小為 ．

【解析】（1）小車恰好能通過圓形軌道的最高點C處，軌道對小車的彈力為零，由重力提供小車圓周運動所需要的向心力，根據牛頓第二定律求出小車在C點的速度．再由動能定理求小車在A點的初速度．（2）根據動能定理或機械能守恒求出小車在軌道D點時的速度，再運用牛頓第二定律，通過支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛頓第三定律得到壓力．
【考點精析】本題主要考查了向心力和動能定理的綜合應用的相關知識點，需要掌握向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力；應用動能定理只考慮初、末狀態，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質和物理過程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時間的動力學問題，都可以用動能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運動定律和機械能守恒定律簡捷才能正確解答此題．