Question

6．如圖，光滑水平直軌道上有三個質量均為m的物塊A、B、C． B的左側固定一輕彈簧（彈簧左側的擋板質最不計）．設A以速度v₀朝B運動，壓縮彈簧；當A、B速度相等時，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后繼續運動．假設B和C碰撞過程時間極短．求從A開始壓縮彈簧直至與彈簧分離的過程中，
（i）整個系統損失的機械能；
（ii）彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能．

Answer 1

分析 （i）A壓縮彈簧的過程，系統動量守恒，應用動量守恒定律可以求出A、B相等的速度．此時B與C發生完全非彈性碰撞，由動量守恒定律求出碰后共同速度．再由能量守恒定律可以求出損失的機械能．
（ii）系統動量守恒，由動量守恒定律求出三個物體共同速度，然后應用能量守恒定律可以求出彈簧的彈性勢能．

解答 解：（i）從A壓縮彈簧到A與B具有相同速度v₁時，對A、B與彈簧組成的系統，取水平向右為正方向，由動量守恒定律得
   mv₀=2mv₁                     ①
此時B與C發生完全非彈性碰撞，設碰撞后的瞬時速度為v₂，損失的機械能為△E．對B、C組成的系統，取水平向右為正方向，由動量守恒和能量守恒定律得
      mv₁=2mv₂             ②
   $\frac{1}{2}$mv₁²=△E+$\frac{1}{2}$•2mv₂²              ③
聯立①②③式得：
整個系統損失的機械能為△E=$\frac{1}{16}$mv₀²                       ④
（ii）由②式可知v₂＜v₁，A將繼續壓縮彈簧，直至A、B、C三者速度相同，設此時速度為v₃，此時彈簧被壓縮至最短，其彈性勢能為E_p．由動量守恒和能量守恒定律得
   mv₀=3mv₃，⑤
由能量守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$mv₀²-△E=$\frac{1}{2}$•3mv₃²+E_P ⑥
聯立④⑤⑥式得 
解得：E_P=$\frac{13}{48}$mv₀²；
答：
（i）整個系統損失的機械能是$\frac{1}{16}$mv₀²；
（ii）彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能是$\frac{13}{48}$mv₀²．

點評 本題綜合考查了動量守恒定律和能量守恒定律，關鍵合理地選擇研究的系統，知道彈簧被壓縮到最短時三個物體速度相同，運用動量守恒和能量守恒進行研究．