Question

【題目】如圖所示，兩根等高光滑的 圓弧軌道，半徑為r、間距為L，軌道電阻不計．在軌道頂端連有一阻值為R的電阻，整個裝置處在一豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度為B．現有一根長度稍大于L、質量為m、電阻不計的金屬棒從軌道的頂端ab處由靜止開始下滑，到達軌道底端cd時受到軌道的支持力為2mg．整個過程中金屬棒與導軌電接觸良好，求：

（1）棒到達最低點時的速度大小和通過電阻R的電流．
（2）棒從ab下滑到cd過程中回路中產生的焦耳熱和通過R的電荷量．
（3）若棒在拉力作用下，從cd開始以速度v0向右沿軌道做勻速圓周運動到達ab
①請寫出桿在運動過程中產生的瞬時感應電動勢隨時間t的變化關系？
②在桿到達ab的過程中拉力做的功為多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：棒在最低點，根據牛頓第二定律得

N﹣mg=m

由題得 N=2mg

可得 v=

棒經過最低點時產生的感應電動勢為 E=BLv=BL

通過電阻R的電流 I= =

（2）

解：整個過程中系統能量守恒得：

回路中產生的焦耳熱 Q=mgr﹣ = mgr

根據法拉第電磁感應定律得：

=

感應電流的平均值 =

通過R的電荷量 q= △t

聯立得 q=

又△Φ=BLr

所以可得 q=

（3）

解：①金屬棒在運動過程中水平方向的分速度 vx=v0cosωt

又 v0=ωr

金屬棒切割磁感線產生的余弦交變電：e=BLvx=BLv0cos

②四分之一周期內，電流的有效值：I=

由能量守恒得：拉力做的功 W=mgr+Q

由焦耳定律得 Q=I2R

T=

解得：W=mgr+

【解析】（1）金屬棒在cd端時由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出棒到達最低點時的速度．由E=BLv求出感應電動勢，再由歐姆定律求通過R的電流．（2）根據能量守恒定律求回路中產生的焦耳熱．根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式推導出電量表達式q= ，來求通過R的電荷量．（3）①棒沿軌道做勻速圓周運動，求出金屬棒在運動過程中水平方向的分速度vx ， 再由E=BLvx求瞬時感應電動勢．
②金屬棒切割磁感線產生余弦交變電，求感應電動勢的有效值，再由功能關系求拉力做的功．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解焦耳定律的相關知識，掌握焦耳定律:Q=I2Rt，式中Q表示電流通過導體產生的熱量，單位是J.焦耳定律無論是對純電阻電路還是對非純電阻電路都是適用的．