Question

（2012?浦東新區一模）如圖所示，質量為m的矩形線框MNPQ，MN邊長為a，NP邊長為b；MN邊電阻為R₁，PQ邊電阻為R₂，線框其余部分電阻不計．現將線框放在光滑絕緣的水平桌面上，PQ邊與y軸重合．空間存在一個方向垂直桌面向下的磁場，該磁場的磁感應強度沿y軸方向均勻，沿x軸方向按規律B_x=B₀（1-kx）變化，式中B₀和k為已知常數且大于零．矩形線框以初速度v₀從圖示位置向x軸正方向平動．求：
（1）在圖示位置時線框中的感應電動勢以及感應電流的大小和方向；
（2）線框所受安培力的方向和安培力的表達式；
（3）線框的最大運動距離x_m；
（4）若R₁=2R₂，線框運動到

xm

2

過程中，電阻R₁產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：由電動勢的定義式求電動勢，由楞次定律判斷電流方向；由安培力公式求安培力；由牛頓第二定律求解線框運動的距離；由動能定理求產生的熱量．

解答：解：（1）E=

△Φ

△t

=ab

△B

△t

=ab

△B

△x

△x

△T

=kabv₀B₀
I=

E

R1+R2

=

kabv0B0

R1+R2

感應電流方向沿：PNMQ
（2）線框受的安培力水平向左，安培力為：
F=aI△B=

k2a2 b2B 2 0

R1+R2

v
（3）根據牛頓第二定律知：
F=F₁-F₂=m

△v

△t

=-

(kabB0)2△x

(R1+R2)△t

其中m△v=-

(kabB0)2△x

R1+R2

mv₀=

(kabB0)2xm

R1+R2

聯立解得x_m=

mv0(R1+R2)

(kabB0)2

（4）由m△v=-

(kabB0)2△x

R1+R2

得：
m（v-v₀）=-

(kabB0)2xm

2(R1+R2)

=-

1

2

mv0，v=

v0

2

Q=△E_K=

1

2

mv

2 0

-

1

2

m(

v

2

)2=

3

8

mv

2 0

電阻R₁產生的熱為
QR1=

R1

R1+R2

Q=

1

4

mv

2 0

答：（1）在圖示位置時線框中的感應電動勢為kabv₀B₀
感應電流的大小為

kabv0B0

R1+R2

，方向沿NPQMN；
（2）線框所受安培力的方向水平向左，安培力的表達式為

k2a2 b2B 2 0

R1+R2

v；
（3）線框的最大運動距離

mv0(R1+R2)

(kabB0)2

；
（4）線框運動到

xm

2

過程中，電阻R₁產生的焦耳熱

1

4

mv

2 0

．

點評：本題是道綜合性較強的題目，運用了法拉第電磁感應定律，牛頓第二定律和動能定理等知識點，要細心閱讀題目，仔細計算．