Question

（2011?廈門模擬）如圖所示，一面積為S單匝圓形金屬線圈與阻值為R的電阻連結成閉合回路，不計圓形金屬線圈及導線的電阻．線圈內存在一個方向垂直紙面向內、磁感應強度均勻增加且變化率為k的磁場B_t．電阻兩端并聯一對平行金屬板M、N，N板右側xOy坐標系（坐標原點O在N板的下端）的第一象限內，有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場邊界OA和y軸的夾角∠AOy=45°，AOx區域為無場區．在靠近M板處的P點由靜止釋放一質量為m，帶電量為+q的粒子（不計重力），經過N板的小孔，從Q（0，a）點垂直y軸進入第I象限，經OA上某點離開磁場，最后垂直x軸離開第I象限．求：
（1）平行金屬MN獲得的電壓U；
（2）yOA區域勻強磁場的磁感應強度B；
（3）若改變磁感應強度的大小，帶電粒子進入磁場偏轉后能打到N板的右側，設粒子與N板碰撞前后電量保持不變并以相同的速率反彈，不計粒子與N板碰撞的作用時間，則帶電粒子在磁場中運動的極限時間是多少？

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律，求出閉合電路的電動勢即平行金屬MN獲得的電壓U；
（2）正確畫出粒子運動的軌跡圖，根據幾何關系找出粒子運動 的半徑的大小，代人公式求得磁場的磁感應強度；
（3）當r′為無窮小，經過n個半圓運動，最后一次打到O點．

解答：解：（1）根據法拉第電磁感應定律，閉合電路的電動勢為：E=

△φ

△t

=

△B

△t

?S=kS①
因MN與電阻并聯，故MN獲得的電壓：U=U_R=E=kS②
（2）帶電粒子在MN間做勻加速直線運動，有：qU=

1

2

mv 2③
帶電粒子進入磁場區域運動軌跡如圖所示，
有：qvB=m

v 2

r

④
由幾何關系得：r+rtan45°=a⑤
由②③④⑤得：B=

2

a

2mks q

⑦
（3）設粒子運動圓周半徑為r′，r′=

mv

qB

，當r′越小，最后一次打到N板的點的越靠近O點，在磁場中圓周運動累積路越大，時間越長，當r′為無窮小，經過n個半圓運動，最后一次打到O點，有：n=

a

2r′

⑧
圓周運動周期：T=

2π?r′

v

⑨
最長的根限時間：tm=n

T

2

⑨
由②③⑧⑨⑩式得：tm=

π?a

2v

=

π?a

2

m 2qkS

⑩
答：（1）平行金屬MN獲得的電壓kS；（2）yOA區域勻強磁場的磁感應強度B=

2

a

2mks q

；（3）帶電粒子在磁場中運動的極限時間是

π?a

2

m 2qkS

．

點評：本題是粒子在磁場中勻速圓周運動和電磁感應的綜合．磁場中圓周運動常用方法是畫軌跡，由幾何知識求半徑．