Question

如圖所示，水平放置的兩塊帶電金屬板a、b平行正對．極板長度為l，板間距也為l，板間存在著方向豎直向下的勻強電場和垂直于紙面向里磁感強度為B的勻強磁場．假設電場、磁場只存在于兩板間的空間區域．一質量為m的帶電荷量為q的粒子（不計重力及空氣阻力），以水平速度v₀從兩極板的左端中間射入場區，恰好做勻速直線運動．求：
（1）金屬板a、b間電壓U的大小；
（2）若僅將勻強磁場的磁感應強度變為原來的2倍，粒子將擊中上極板，求粒子運動到達上極板時的動能大�。�
（3）若撤去電場，粒子能飛出場區，求m、v₀、q、B、l滿足的關系；
（4）若滿足（3）中條件，粒子在場區運動的最長時間．

Answer 1

分析：（1）粒子勻速運動，受力平衡，根據受力平衡的條件可求得電壓的大�。�
（2）磁場力對粒子不做功，只有電場力做功，求出電場力做的功即可；
（3）撤去電場，粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據運動的半徑大小求速度的大��；
（4）根據粒子運動的周期公式分析可得到最長的運動時間．

解答：解：（1）粒子勻速運動，受力平衡，根據受力平衡的條件可得，
q

U

l

=qv₀B，
所以電壓U=lv₀B．
（2）僅將勻強磁場的磁感應強度變為原來的2倍，洛倫茲力變大，
但是洛倫茲力與速度的方向垂直，洛倫茲力不做功，只有電場力對粒子做功，
根據動能定理可得，
q?

1

2

U=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²，
又因為 U=lv₀B
所以，粒子運動到達上極板時的動能大小為，
E_K=

1

2

mv₀²+

1

2

qBlv₀；
（3）當粒子恰好貼著右邊界飛出時為速度的一個最值，
此時：圓心角為60℃
則由幾何關系可得r=

3l

，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

r

，
解得v₀=

5qBl

4m

，
所以速度v₀≥

5qBl

4m

，
當粒子從左邊界飛出時，粒子做的是半徑r=

1

4

l的半圓，
此時有r=

1

4

l=

mv0

qB

，
所以此時的速度v₀≤

qBl

4m

，
（4）由于T=

2πm

qB

，與粒子的速度大小無關，
所以圓心角為180度時運動時間最長，
最長的時間為t=

1

2

T=

πm

qB

．
答：（1）金屬板a、b間電壓U的大小為lv₀B；
（2）若僅將勻強磁場的磁感應強度變為原來的2倍，粒子將擊中上極板，求粒子運動到達上極板時的動能大小為

1

2

mv₀²+

1

2

qBlv₀；
（3）若撤去電場，粒子能飛出場區，求m、v₀、q、B、l滿足的關系為v₀≥

5qBl

4m

，或v₀≤

qBl

4m

；
（4）若滿足（3）中條件，粒子在場區運動的最長時間為

πm

qB

．

點評：本題比較復雜，題目的變化的情況也很多，關鍵是分析清楚粒子在不同的情況下的運動情況，其中只有磁場的時候，粒子可以有兩種離開磁場的情況，這是本題的易錯點．