Question

11．如圖所示，將一個小滑塊（可視為質點）從距A點高h=1.8m的水平臺面上以一定的初速度v₀水平彈出，小滑塊恰好落到A點，并且速度方向恰沿AB方向，并沿AB軌滑下，已知AB軌道長l₁=3$\sqrt{3}$m，與水平方向的夾角θ=60°，AB軌道通過微小圓弧與長l₂=$\sqrt{3}$m的水平軌道BC相連，BC軌道在C處與一豎直固定的光滑半圓軌道相切，CD為半圓的豎直直徑．已知小滑塊與AB和BC間的動摩擦因數均為μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$． g取10m/s²．
（1）求小物塊初速度v₀的大小；
（2）求小滑塊到達C點時速度v_c的大小； 
（3）要使小滑塊只能從C點脫離半圓軌道，則半圓軌道的半徑R應該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）釋放彈簧后彈簧的彈性勢能轉化為小球的動能．先根據小球從離開彈簧到A平拋運動過程，由${v}_{y}^{2}$=2gh求出小球到A點時豎直分速度v_y，再由速度的分解求出到初速度v₀．
（2）從水平飛出到C的過程，有重力和摩擦力對小滑塊做功，由動能定理列出公式即可求出C點的速度；
（3）要使小球不離開軌道，有兩種情況：第一種情況：是恰好過豎直圓軌道最高點時，先由牛頓第二定律和向心力知識求出到最高點的速度，再由動能定理求解軌道半徑．第二種情況：小球恰好到豎直圓軌道最右端，由動能定理求解軌道半徑．

解答 解：（1）小球開始時做平拋運動，有：v_y²=2gh
得：v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×1.8}$=6m/s
在A點，有：tan60°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
得：v₀=$\frac{{v}_{y}}{tan60°}$=$\frac{6}{\sqrt{3}}$m/s=2$\sqrt{3}$m/s
（2）從水平拋出到C點的過程中，由動能定理得：
mg（h+l₁sinθ）-μmgl₁cosθ-μmgl₂=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數據解得：v_C=2$\sqrt{14}$m/s
（3）小球剛剛過最高點時，重力提供向心力，則：mg≤m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
從C到D，由機械能守恒定律有：$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數據解得：R≤1.12 m
當小球剛能到達與圓心等高時，由機械能守恒定律有：
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=mgR′
代入數據解得：R′=2.8 m
所以要使小球不離開軌道，R應該滿足的條件是0＜R≤1.12 m或R≥2.8 m
答：（1）小球初速度v₀的大小是6m/s．
（2）小滑塊到達C點時速度v_c的大小是2$\sqrt{14}$m/s．　
（3）要使小滑塊只能從C點脫離半圓軌道，則半圓軌道的半徑R應該滿足是0＜R≤1.12 m或R≥2.8 m．

點評 本題是復雜的力學綜合題，明確研究對象的運動過程是解決問題的前提，根據題目已知條件和求解的物理量選擇物理規律解決問題．第3小題是臨界問題，有兩種可能的情況，不能漏解．