Question

17．如圖所示，區域Ⅰ、Ⅱ內存在著垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度分別為B₁=B，B₂=0.5B．區域寬度分別為d、2d．一帶正電的粒子（重力不計）從左邊界上的A點垂直邊界射入區域Ⅰ中，粒子的質量為m，帶電量為q．
（1）若粒子不能進入區域Ⅱ，求粒子的速度滿足的條件及此種情況下粒子在區域Ⅰ中運動的時間．
（2）若粒子剛好能射出區域Ⅱ，求粒子的速度大小．

Answer 1

分析 （1）找到粒子不能進入區域II的臨界幾何條件，洛倫茲力提供向心力與幾何關系結合即可；
（2）畫出運動過程圖，找到粒子恰好能射出區域II的臨界幾何條件，再與洛倫茲力提供向心力結合即可．

解答 解：（1）粒子不能進入II的臨界條件為粒子軌跡恰好與I、II兩區域的邊界相切，如圖一所示
根據洛倫茲力提供向心力有：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ①
粒子不能進入II區域，幾何關系應滿足：R≤d ②
聯立①②結合已知條件得：v≤$\frac{qBd}{m}$
粒子運動的周期：T=$\frac{2πR}{v}$③
聯立①③得：T=$\frac{2πm}{qB}$ ④
粒子運動的時間：t=$\frac{θ}{2π}$T ⑤
根據對稱關系可知粒子垂直入射區域I，垂直穿出區域I，所以θ=π ⑥
由④⑤⑥式聯立得t=$\frac{πm}{qB}$
（2）畫出粒子運動過程圖，如圖二所示，設粒子在區域I、II中軌跡圓的半徑分別為R₁、R₂，圓心分別為O₁、O₂，粒子在兩個區域的軌跡恰好在C點相切，又因為粒子恰好射出區域II，所以粒子在區域II中運動的軌跡與區域II的右邊界相切于D點，此時粒子恰好在D點射出區域II．
根據洛倫茲力提供向心力，在區域I中有：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$ ⑦
根據洛倫茲力提供向心力，在區域II中有：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$ ⑧
⑦⑧式子結合已知條件B₁=B，B₂=0.5B，可得：R₂=2R₁
根據幾何關系有：△O₁EC與△O₁FO₂全等
可得：O₂F=EC=d
所以：R₂=O₂D=O₂F+FD=4d ⑨
⑧⑨式聯立得：v=$\frac{2qBd}{m}$
答：（1）若粒子不能進入區域Ⅱ，粒子的速度v應滿足v≤$\frac{qBd}{m}$，粒子在區域Ⅰ中運動的時間為$\frac{πm}{qB}$．
       （2）若粒子剛好能射出區域Ⅱ，求粒子的速度大小為$\frac{2qBd}{m}$．

點評 本題考查帶電粒子在有界磁場中的運動，解決這類問題的思路是固定的，同學們要牢記：即洛倫茲力提供向心力與幾何關系結合；解決第二問的關鍵在于規范作圖，分析好兩軌跡在C點的速度銜接關系，兩軌跡圓恰好在C點內切．