Question

如圖所示，兩平行的光滑金屬導軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導軌間距為l、足夠長且電阻忽略不計，導軌平面的傾角為α，條形勻強磁場的寬度為d，磁感應強度大小為B、方向與導軌平面垂直．長度為2d的絕緣桿將導體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“

”型裝置，總質量為m，置于導軌上．導體棒中通以大小恒為I的電流（由外接恒流源產生，圖中未畫出）．線框的邊長為d（d＜l），電阻為R，下邊與磁場區域上邊界重合．將裝置由靜止釋放，導體棒恰好運動到磁場區域下邊界處返回，導體棒在整個運動過程中始終與導軌垂直．重力加速度為g．
求：（1）裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中產生的焦耳熱Q；
（2）線框第一次穿越磁場區域所需的時間t₁；
（3）經過足夠長時間后，線框上邊與磁場區域下邊界的最大距離Χ_m．

Answer 1

（1）設裝置由靜止釋放到導體棒運動到磁場下邊界的過程中，作用在線框上的安培力做功為W
         由動能定理  mgsinα?4d+W-BIld=0
         且Q=-W
         解得  Q=4mgdsinα-BIld
   （2）設線框剛離開磁場下邊界時的速度為v₁，則接著向下運動2d
        由動能定理得：mgsinα?2d-BIld=0-

1

2

m

v

21

        裝置在磁場中運動時收到的合力F=mgsinα-F′
        感應電動勢   E=Bdv
        感應電流     I′=

E

R

        安培力       F'=BI'd
       由牛頓第二定律，在t到t+△t時間內，有△v=

F

m

△t
       則∑△v=∑[gsinα-

B2d2v

mR

]△t
       有v1=gt1sinα-

2B2d3

mR

       解得   t1=

2m(BIld-2mgdsinα) + 2B2d3 R

mgsinα

  （3）經過足夠長時間后，線框在磁場下邊界與最大距離x_m之間往復運動
       由動能定理   mgsinα?x_m-BIl（x_m-d）=0
       解得    xm=

BIld

BIl-mgsinα

答：（1）裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中產生的焦耳熱為4mgdsinα-BIld；（2）線框第一次穿越磁場區域所需的時間t₁為

2m(BIld-2mgdsinα) + 2B2d3 R

mgsinα

；（3）經過足夠長時間后，線框上邊與磁場區域下邊界的最大距離Χ_m為

BIld

BIl-mgsinα

．