Question

14．如圖所示，高度h=0.8m的光滑導軌AB位于豎直平面內，其末端與長度L=0.7m的粗糙水平導軌BC相連，BC與豎直放置內壁光滑的半圓形管道CD相連，半圓的圓心O在C點的正下方，C點離地面的高度H=1.25m．一個質量m=1kg的小滑塊（可視為質點），從A點由靜止下滑，小滑塊與BC段的動摩擦因數μ=0.5，重力加速度g取10m/s²，不計空氣阻力．
（1）求小滑塊在水平導軌BC段運動的時間；
（2）若半圓的半徑r=0.5m，求小滑塊剛進入圓管時對管壁的彈力；
（3）若半圓形管道半徑可以變化，則當半徑為多大時，小滑塊從其下端射出的水平距離最遠？最遠的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）先研究小滑塊在AB段下滑的過程，運用機械能守恒定律求出滑塊進入水平導軌BC的初速度．由牛頓第二定律求得滑塊在BC段運動的加速度，最后由位移公式求時間．
（2）由速度時間公式求出滑塊到達C點的速度．在C點，由合力提供向心力，由牛頓定律求小滑塊剛進入圓管時對管壁的彈力．
（3）由動能定理和平拋運動的規律得到水平距離與軌道半徑的關系式，再由數學知識求解．

解答 解：（1）設進入水平導軌BC的初速度為v_B，由機械能守恒定律有：
  $mgh=\frac{1}{2}mv_B^2$
得 ${v_B}=\sqrt{2gh}=4m/s$
滑塊在BC段所受的摩擦力為 f=μmg
加速度     $a=\frac{f}{m}=μ•g=5m/{s^2}$
由$x={v_B}t-\frac{1}{2}a{t^2}$
解得     t=0.2s
（2）滑塊到達C點的速度 v_C=v_B-at=3m/s
在C點，由牛頓第二定律得 ${F_N}+mg=\frac{{m{v^2}}}{r}$
代入數據可得   F_N=8N，方向豎直向下
所以小滑塊剛進入圓管時對管壁的彈力大小為8N，方向豎直向上                
（3）設平拋運動的時間為t，則有：$H-2r=\frac{1}{2}g{t^2}$
水平射程為：x=v_Dt
從C到D的過程，由動能定理：$mg•2r=\frac{1}{2}mv_D^2-\frac{1}{2}mv_C^2$
解得  $x=\sqrt{\frac{2（H-2r）}{g}}\sqrt{（v_C^2+4gr）}$
當r=0.2m時水平射程最遠．最遠距離為x_m=1.7m．
答：
（1）小滑塊在水平導軌BC段運動的時間是0.2s；
（2）若半圓的半徑r=0.5m，小滑塊剛進入圓管時對管壁的彈力大小為8N，方向豎直向上；
（3）若半圓形管道半徑可以變化，則當半徑為0.2m時，小滑塊從其下端射出的水平距離最遠，最遠的水平距離為1.7m．

點評 解決本題時，要注意理清滑塊的運動過程，把握每個過程的物理規律，知道圓周運動向心力的來源：指向圓心的合力．運用動能定理和平拋規律得到水平距離的解析式是關鍵