Question

6．如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切，圓弧的半徑為R．一個質量為m的物體（可以看做質點）從直軌道上的P點由靜止釋放，結果它能在兩軌道間做往返運動．已知P點與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動摩擦因數為μ．求：
（1）物體第一次通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力F_N的大小；
（2）物體做往返運動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程s；
（3）為使物體能順利通過圓弧軌道的最高點D，釋放點距B點的距離L應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）物體從P到E的過程，根據動能定理求出E點的速度，在E點，根據牛頓第二定律求出軌道對物體的支持力，從而得到物體對軌道的壓力．
（2）物體在斜面上運動時，由于要克服摩擦力做功，機械能不斷損失，最終物體以B（還有B關于OE的對稱點）為最高點，在圓弧底部做往復運動，對整個過程，運用動能定理可求出物體在AB軌道上通過的總路程s．
（3）根據圓周運動中物體能過最高點D的條件求出D點的速度，然后根據動能定理求出L，從而得到L應滿足的條件．

解答 解：（1）物體從P到E的過程，由動能定理得：
mgR-μmgcosθ•$\frac{Rcosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
在E點，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
聯立解得：F_N=3mg-2μmgcotθcosθ
（2）因為物體在斜面上運動時，摩擦始終對物體做負功，機械能不斷減小，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復運動．
對整體過程，由動能定理得：
mgR•cosθ-μmgcosθ•s=0
所以總路程為：s=$\frac{R}{μ}$
（3）設物體剛好到D點，則由向心力公式得：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
對全過程由動能定理得：mgLsinθ-μmgcosθ•L-mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²
解得：L=$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R
所以釋放點距B點的距離L應滿足是L≥$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R
答：（1）物體第一次通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力F_N的大小是3mg-2μmgcotθcosθ；
（2）物體做往返運動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程s是$\frac{R}{μ}$；
（3）釋放點距B點的距離L應滿足是L≥$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R．

點評 本題的關鍵要分析清楚物體的運動過程，判斷物體最終的運動狀態，把握圓周運動向心力來源，應動能定理、向心力知識結合解答．