Question

【題目】某種粒子加速器的設計方案如圖19所示，M、N為兩塊垂直于紙面旋轉放置的圓形正對平行金屬板，兩金屬板中心均有小孔（孔的直徑大小可忽略不計），板間距離為h。兩板間接一直流電源，每當粒子進入M板的小孔時，控制兩板的電勢差為U，粒子得到加速，當粒子離開N板時，兩板的電勢差立刻變為零。兩金屬板外部存在著上、下兩個范圍足夠大且有理想平面邊界的勻強磁場，上方磁場的下邊界cd與金屬板M在同一水平面上，下方磁場的上邊界ef與金屬板N在同一水平面上，兩磁場平行邊界間的距離也為h，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度為B。在兩平行金屬板右側形成與金屬板間距離一樣為h的無電場、無磁場的狹縫區域。一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從M板小孔處無初速度釋放，粒子在MN板間被加速，粒子離開N板后進入下方磁場中運動。若空氣阻力、粒子所受的重力以及粒子在運動過程中產生的電磁輻射均可忽略不計，不考慮相對論效應、兩金屬板間電場的邊緣效應以及電場變化對于外部磁場和粒子運動的影響。

（1）為使帶電粒子經過電場加速后不打到金屬板上，請說明圓形金屬板的半徑R應滿足什么條件；

（2）在ef邊界上的P點放置一個目標靶，P點到N板小孔O的距離為s時，粒子恰好可以擊中目標靶。對于擊中目標靶的粒子，求：

①其進入電場的次數n；

②其在電場中運動的總時間與在磁場中運動的總時間之比。

Answer 1

【答案】（1）R<；（2）①；②。

【解析】（1）設粒子第一次經過電場加速后的速度為v1，

對于這個加速過程，根據動能定理有：，解得；

粒子進入磁場中做勻速圓周運動，設其運動的軌道半徑為r1，

根據洛倫茲力和牛頓第二定律有：，

得

為使粒子不打到金屬板上，應使金屬板的半徑R<2r1，即R<

（2）①設到達ef邊界上P點的粒子運動速度為vn，根據幾何關系可知，其在磁場中運動的最后一周的軌道半徑rn=s/2，

根據洛倫茲力公式和牛頓第二定律有 ，

解得

設粒子在電場中被加速n次，對于這個加速過程根據動能定理有

解得：。

②設粒子在電場中運動的加速度為a，根據牛頓第二定律有：，

解得

因在磁場中運動洛倫茲力不改變粒子運動速度的大小，故粒子在電場中的間斷加速運動可等效成一個連續的勻加速直線運動

設總的加速時間為t1，根據vn=at1

可得

粒子在磁場中做勻速圓周運動，運動周期 保持不變

對于擊中目標靶的粒子，其在磁場中運動的總時間

t2= 所以