Question

如圖所示，在水平光滑軌道PQ上有一個輕彈簧其左端固定，現用一質量m=2.0kg的小物塊（視為質點）將彈簧壓縮后釋放，物塊離開彈簧后經過水平軌道右端恰好沿半圓軌道的切線進入豎直固定的軌道，小物塊進入半圓軌道后恰好能沿軌道運動，經過最低點后滑上質量M=8.0kg的長木板，最后恰好停在長木板最左端．已知豎直半圓軌道光滑且半徑R=0.5m，物塊與木板間的動摩擦因數μ=0.2，木板與水平地面間摩擦不計，取g=10m/s²．
（1）彈簧具有的彈性勢能；
（2）小物塊滑到半圓軌道底端時對軌道的壓力；
（3）木板的長度．

Answer 1

分析：（1）根據物體進入軌道后恰好沿軌道運動求解對應的速度，根據能量守恒求解彈簧具有彈性勢能．
（2）根據物塊由頂端滑到底端過程由機械能守恒和牛頓第二定律求解．
（3）對物體與木板組成的系統由動量守恒定律和能量守恒定律求解．

解答：解：（1）物體進入軌道后恰好沿軌道運動：mg=m

v2

R

…①
彈簧具有彈性勢能：Ep=

1

2

mv2=5J…②
（2）物塊由頂端滑到底端過程由機械能守恒：mg2R=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

…③
解得：v₂=5m/s
在軌道底端由牛頓第二定律得：F-mg=m

v 2 2

R

…④
解得：F=6mg=120N…⑤
由牛頓第三定律得物塊對軌道的壓力為120N…⑥
（3）對物體與木板組成的系統由動量守恒定律得：mv₂=（m+M）v₃…⑦
設木塊的長度為s，由能量守恒定律得：fs=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

(m+M)

v

2 3

…⑧
f=μmg…⑨
聯立，并代入已知，解得：s=5m…⑩
答：（1）彈簧具有的彈性勢能是5J
（2）物塊滑到半圓軌道底端時對軌道的壓力是120N
（3）木板的長度是5m

點評：此題要求能熟練運用牛頓第二定律和系統由動量守恒定律解決問題，此題對過程分析要求較高．