Question

如圖甲所示，M、N為豎直放置的兩塊平行金屬板，圓形虛線為與N相連且接地的圓形金屬網罩。PQ為與圓形網罩同心的金屬收集屏，通過阻值為r₀的電阻與大地相連。小孔s₁、s₂、圓心O與PQ中點位于同一水平線上。圓心角2θ=120°、半徑為R的網罩內有大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場。M、N間相距且接有如圖乙所示的隨時間t變化的電壓，（0tT），（t >T）（式中，T已知），質量為m、電荷量為e的質子連續不斷地經s₁進入M、N間的電場，接著通過s₂進入磁場。（質子通過M、N的過程中，板間電場可視為恒定，質子在s₁處的速度可視為零，質子的重力及質子間相互作用均不計。）

（1）質子在哪些時間段內自s₁處進入板間，穿出磁場后均能打到收集屏PQ上？

（2）質子從進入s₁到穿出金屬網罩經歷的時間記為，寫出與U_MN之間的函數關系（tanx=a 可表示為x=arctana）

（3）若毎秒鐘進入s₁的質子數為n，則收集屏PQ電勢穩定后的發熱功率為多少？

 

Answer 1

解：

（1）質子在板間運動，根據動能定理，有

                  （1分）

   質子在磁場中運動，根據牛頓第二定律，有  

                                      （1分）

若質子能打在收集屏上，軌道半徑與半徑應滿足的關系：      （1分） 

解得板間電壓                                      （1分） 

結合圖象可知：質子在t和tT之間任一時刻從s₁處進入電場，均能打到

收集屏上                                                        （2分）                                                                    

（2）M、N間的電壓越小，質子穿出電場進入磁場時的速度越小，質子在極板間經歷的時間越長，同時在磁場中運動軌跡的半徑越小，在磁場中運動的時間也會越長，設在磁場中質子運動所對應的圓半徑為r,運動圓弧所對應的圓心角為，射出電場的速度為v₀,質子穿出金屬網罩時，對應總時間為t，則

  在板間電場中運動時間     （2分）

                              （1分）

在磁場中運動時間                                    （1分）

所以，運動總時間＝+                        （1分）

在磁場中運動時間（1分）   

所以，運動總時間＝          （2分）

（3）穩定時, 收集屏上電荷不再增加，即在t>T 時刻以后，此時，，收集屏與地面電勢差恒為U，U=Ir₀  

     單位時間到達收集板的質子數n

單位時間內，質子的總能量為                 （2分）

單位時間內屏上發熱功率為                                 （2分）

消耗在電阻上的功率為                                       （2分）

所以收集板發熱功率              （2分）