Question

【題目】如圖所示，光滑的半圓形軌道OA和AB位于豎直面內，它們的半徑分別為r＝0.3m和R＝0.4m，兩軌道相切于最高點A，半圓形軌道AB與水平軌道BC相切于最低點B，軌道BC的長度可以調節，軌道BC的右端與一傾角為45°的斜面CD相連，C點離地的高度為h＝3.2m。現用彈簧裝置將一小滑塊（可視為質點）從半圓形軌道OA的最低點O彈出，小滑塊在運動過程中恰好不脫離圓弧軌道OAB，滑塊與BC段的動摩擦因數為μ＝0.4．g取10m/s2。

（1）求小滑塊從O點彈出時的速度大小；

（2）改變水平軌道BC的長度，使小滑塊能夠落在斜面CD上，求軌道BC的長度范圍。

Answer 1

【答案】（1）m/s（2）m≤x≤m

【解析】

（1）設滑塊從O點彈出時的速度大小為v0，

在最高點A由牛頓第二定律得：

mg＝m

從O到A的過程由動能定理得：

﹣mg2r＝﹣

聯立解得：

v0＝m/s

（2）設離開C的速度為v時恰好落在D點，此時BC的長度最短為x1，由平拋運動的規律得：

水平方向：h＝vt

豎直方向：h＝

聯立解得：v＝4m/s

從O到C的過程由動能定理得：

mg（2R﹣2r）﹣μmgx1＝﹣

解得：

x1＝m

到C點的速度恰好為零時對應的BC長度最長為x2，從O到C的過程由動能定理得：

mg（2R﹣2r）﹣μmgx2＝0﹣

解得：

x2＝m

所以軌道BC的長度范圍為：m≤x≤m

答：（1）m/s（2）m≤x≤m