Question

如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，虛線OM與x軸成45°角，在OM與x軸之間（包括x軸）存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，在y軸與OM之間存在豎直向下、電場強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場，有一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電的粒子以某速度沿x軸正方向從O點(diǎn)射入磁場區(qū)域并發(fā)生偏轉(zhuǎn)，不計(jì)帶電粒子的重力和空氣阻力，在帶電粒子進(jìn)入磁場到第二次離開電場的過程中，求：
（1）若帶電粒子從O點(diǎn)以速度V₁進(jìn)入磁場區(qū)域，求帶電粒子第一次離開磁場的位置到O點(diǎn)的距離？
（2）當(dāng)粒子最初進(jìn)入磁場時(shí)速度V的大小變化時(shí)，討論粒子第二次離開電場時(shí)速度大小與V大小的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場中，受到洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和向心力公式求出粒子的軌跡半徑，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求粒子第一次離開磁場的位置到O點(diǎn)的距離；
（2）帶電粒子進(jìn)入電場時(shí)做類平拋運(yùn)動(dòng)，第二次離開電場時(shí)恰好經(jīng)過O點(diǎn)，畫出軌跡，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出粒子進(jìn)入電場時(shí)的初速度大小，即是粒子最初進(jìn)入磁場時(shí)速度V的大小．再討論當(dāng)V變化時(shí)，粒子第二次離開電場時(shí)速度大小與V大小的關(guān)系．

解答：解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：
qv₁B=m

v12

R

…①
解得：R=

mv1

qB

…②
設(shè)粒子從N點(diǎn)離開磁場，如答圖所示，由幾何知識(shí)可知：
ON=

2

R… ③
聯(lián)立②③得：ON=

2 mv1

qB

…④
（2）粒子第二次離開磁場后再電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，若粒子第二次剛好從O點(diǎn)離開電場，則：
水平位移x=2R=

2mv

qB

=vt… ⑤
解得：t=

2m

qB

…⑥
豎直位移y=2R=

2mv

qB

=

1

2

at²…⑦
而a=

qE

m

… ⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧得：v=

E

B

；
i）若v＞

E

B

，則粒子從y軸離開電場，軌跡如圖，水平位移：
x=2R=

2mv

qB

=vt，得：t=

2m

qB

v_y=at=

qE

m

t=

2E

B

則粒子離開電場時(shí)的速度v′=

vy2+v2

=

4E2 B2 +v2

ii）若v＜

E

B

，則粒子從OM邊界離開電場，粒子在x、y方向的位移大小相等，x=vt，
y=x=

vy

2

t，解得：v_y=2v
則粒子離開電場時(shí)的速度v′=

v2+vy2

=

5

v
答：（1）若帶電粒子從O點(diǎn)以速度V₁進(jìn)入磁場區(qū)域，帶電粒子第一次離開磁場的位置到O點(diǎn)的距離

2 mv1

qB

；
（2）若v＞

E

B

，則粒子從y軸離開電場，粒子離開電場時(shí)的速度v′=

4E2 B2 +v2

；
若v＜

E

B

，則粒子從OM邊界離開電場，粒子離開電場時(shí)的速度v′=

5

v．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的問題，解題關(guān)鍵是畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)分析求解．