Question

在如圖所示的空間坐標系中，y軸的左邊有一勻強電場，場強大小為E，場強方向跟y軸負向成30°，y的右邊有一垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．現有一質子，以一定的初速度v₀，在x 軸上坐標為x₀=10cm處的A點，第一次沿x軸正方向射入磁場，第二次沿x軸負方向射入磁場，回旋后都垂直于電場方向射入電場，最后又進入磁場．求：
（1）質子在勻強磁場中的軌跡半徑R；
（2）質子兩次在磁場中運動時間之比；
（3）若第一次射入磁場的質子經電場偏轉后，恰好從第二次射入磁場的質子進入電場的位置再次進入磁場，試求初速度v₀和電場強度E、磁感應強度B之間需要滿足的條件．

Answer 1

分析：本題（1）、（2）的關鍵是根據題意畫出質子兩次運動的軌跡圖，并確定兩圓心位置，然后根據幾何知識求出圓的半徑和圓心角即可；題（3）的關鍵是根據圖求出質子兩軌跡與Y軸交點之間的距離，然后根據類平拋規律即可求解．

解答：解：（1）質子兩次運動的軌跡如圖所示，由幾何關系可知
x₀=Rsin30°
解得R=2x₀=20cm；    
（2）第一次射入磁場的質子，軌跡對應的圓心角為θ₁=210°，
第二次射入磁場的質子，軌跡對應的圓心角為θ₂=30°，由t=

θ

360

?T，T=

2πm

qB

可得
質子兩次在磁場中運動時間之比為

t

1

：t

2

=

θ

1

：

θ

2

=7：1  
（3）質子在磁場中做勻速圓周運動時，由ev0B=m

v 2 0

R

得：R=

mv0

eB

設第一次射入磁場的質子，從y軸上的P點進入電場做類平拋運動，從y軸上的Q點進入磁場，由幾何關系得，質子沿y軸的位移為△y=（R+Rcos30°）+（R-Rcos30°）=2R
質子的加速度為：a=

eE

m

沿電場方向位移為：x=△ycos30°=

1

2

at2
垂直電場方向為：y=△ysin30°=

v

0

t
聯立以上各式解得：v0=

3 E

6B

答：（1）質子在勻強磁場中的軌跡半徑R為20cm．
（2）質子兩次在磁場中運動時間之比為7：1．
（3）初速度v₀和電場強度E、磁感應強度B之間需要滿足的條件為v0=

3 E

6B

．

點評：遇到帶電粒子在組合場中的運動問題，一般思路是先畫出粒子運動的軌跡（若是圓周運動則需要找到圓心并確定半徑和圓心角），然后再應用相應的規律求解即可．