Question

（2008?廣東模擬）如圖所示，在光滑水平面上，質量為m的小球B連接著一個輕質彈簧，彈簧與小球均處于靜止狀態．質量為2m的小球A以大小為v₀的水平速度向右運動，接觸彈簧后逐漸壓縮彈簧并使B運動，經過一段時間，A與彈簧分離．
（1）當彈簧壓縮至最短時，彈簧的彈性勢能E_P為多大？
（2）若開始時，在B球的右側某位置固定一塊擋板，在A與彈簧未分離前使B球與擋板發生碰撞，并在碰撞后立即將擋板撤走．設B球與擋板碰撞時間極短，碰后B球的速度大小不變，但方向與原來相反．欲使此后彈簧被壓縮到最短時彈簧的彈性勢能能達到第（1）問中E_P的2.5倍，必須使兩球在速度達到多大時與擋板發生碰撞？

Answer 1

分析：（1）當彈簧壓縮至最短時，兩球的速度相等，根據系統的動量守恒和機械能守恒列式，即可求出彈簧的彈性勢能E_P．
（2）設B球與擋板碰撞時，A球速度為v₁、B球速度為v₂（均向右），根據動量守恒列式，B球與擋板剛碰后，A球速度為v₁、B球速度為-v₂（向左），此后彈簧壓縮至最短時有共同速度，再由系統的動量守恒和機械能守恒列式，即可得解．

解答：解：（1）彈簧壓縮至最短時，A、B速度均為v，選取向右為正，根據動量守恒定律，有：2mv₀=（2m+m）v=

2

3

v0
根據機械能守恒定律，有：

1

2

×2m

v

2 0

=Ep+

1

2

(2m+m)v2
  Ep=

1

3

m

v

2 0

（2）設B球與擋板碰撞時，A球速度為v₁、B球速度為v₂（均向右）
根據動量守恒定律：2mv₀=2mv₁+mv₂ ①
此時彈簧彈性勢    

E

′ p

=

1

2

×2m

v

2 0

-

1

2

×2m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

  ②
則B球與擋板剛碰后：A球速度為v₁、B球速度為-v₂（向左），此后彈簧壓縮至最短時共同速度為v₃，則：
    2mv₁-mv₂=（2m+m）v₃ ②
此時彈簧彈性勢能 E″_p=E′_p+

1

2

×2m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

-

1

2

(2m+m)

v

2 3

得  E″_p=

1

2

×2m

v

2 0

-

1

2

(2m+m)

v

2 3

由題意：E″_p=2.5E_p=

5

6

m

v

2 0

  
解得 v3=

1

3

v0  ③
由①②③式可得：v1=

3

4

v0v2=

1

2

v0
由①②③式可得：v1=

3

4

v0v2=

1

2

v0
答：
（1）當彈簧壓縮至最短時，彈簧的彈性勢能E_P為

1

3

m

v

2 0

．
（2）必須使兩球在速度達到

1

3

v0時與擋板發生碰撞．

點評：本題是含有彈簧的問題，要分析物體的運動過程，抓住系統的動量守恒和機械能守恒進行分析，綜合性較強．