Question

4．木星的衛星之一叫艾奧，它上面的珞珈火山噴出的巖塊初速度為v₀時，上升的最大高度可達h．已知艾奧的半徑為R，引力常量為G，忽略艾奧的自轉及巖塊運動過程中受到稀薄氣體的阻力，求：
（1）艾奧表面的重力加速度大小g和艾奧的質量M；
（2）距艾奧表面高度為2R處的重力加速度大小g'；
（3）艾奧的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）根據豎直上拋運動規律可求得表面的重力加速度，根據星球表面重力等于萬有引力列式求解艾奧的質量；
（2）根據重力等于萬有引力列式求解距艾奧表面高度為2R處的重力加速度大小；
（3）根據萬有引力充當向心力，當衛星繞星球表面運行時的速度為第一宇宙速度，代入數據即可求解．

解答 解：（1）巖塊做豎直上拋運動，有：$0-v_0^2=-2gh$，
解得：g=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$；
忽略艾奧的自轉有：$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，
解得：M=$\frac{{{R^2}v_0^2}}{2hG}$；
（2）距艾奧表面高度為2R處有：$\frac{GMm'}{{{{（R+2R）}^2}}}=m'g'$，
解得：$g'=\frac{v_0^2}{18h}$；
（3）某衛星在艾奧表面繞其做圓周運動時：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=${v}_{0}\sqrt{\frac{R}{2h}}$；
答：（1）艾奧表面的重力加速度大小g為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$，艾奧的質量M為$\frac{{{R^2}v_0^2}}{2hG}$；
（2）距艾奧表面高度為2R處的重力加速度大小g'為$\frac{v_0^2}{18h}$；
（3）艾奧的第一宇宙速度v為${v}_{0}\sqrt{\frac{R}{2h}}$．

點評 本題考查萬有引力定律的應用，要注意明確星球表面的物體萬有引力充當重力；而繞星球表面運行的衛星萬有引力充當向心力．