Question

12．如圖所示，一固定容器的內壁是半徑為R的半球面，在半球面水平直徑的一端有一質量為m的質點P．它在容器內壁由靜止下滑到最低點的過程中，克服摩擦力做的功為W．重力加速度大小為g．設質點P在最低點時，向心加速度的大小為a，速度為v，容器對它的支持力大小為N，則（　　）

• A． a=$\frac{2（mgR-W）}{mR}$
• B． v=$\sqrt{\frac{2（mgR-W）}{m}}$
• C． N=$\frac{3mgR-2W}{R}$
• D． N=$\frac{2（mgR-W）}{R}$

Answer 1

分析 質點P下滑的過程中，重力做正功，摩擦力做負功，根據動能定理求出質點P到達最低點時的速度，在最低點，質點受重力和支持力，根據合力提供向心力，列式求解．

解答 解：B、質點P下滑的過程，由動能定理得：mgR-W=$\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2（mgR-W）}{m}}$，故B正確；
A、在最低點，向心加速度為：a=$\frac{{v}^{2}}{R}$=$\frac{{{{（\sqrt{\frac{2（mgR-W）}{m}}）}^2}}}{R}$=$\frac{2（mgR-W）}{mR}$，故A正確；
CD、在最低點，支持力和重力的合力提供向心力，故：N-mg=ma，故N=m（g+a）=m[g+$\frac{2（mgR-W）}{mR}$]=$\frac{3mgR-2W}{R}$，故C正確，D錯誤；
故選：ABC

點評 解決本題的關鍵掌握動能定理解題，以及知道質點在B點徑向的合力提供圓周運動的向心力．