Question

如圖所示，A、B兩小球用輕桿連接，A球只能沿內壁光滑的 豎直滑槽運動，B球處于光滑水平面內．開始時桿豎直，A、B兩球靜止．由于微小的 擾動，B開始沿水平面向右運動．已知A球的 質量為m_A，B球的 質量為m_B，桿長為L．則A球著地時的 速度為

2gL

，若m_A=m_B，A球機械能的 最小值為

23mAgL

27

．（選水平面為參考平面）

Answer 1

分析：（1）A球著地時，B球的速度為0，系統機械能守恒，根據機械能守恒定律列式即可求解；
（2）兩球組成的系統機械能守恒，當A球機械能最小時，B球的速度最大，設桿與豎直方向間夾角為θ，B球的速度為v_B，此時A球的速度為v_A，根據動能定理列式，而v_A和v_B沿桿方向上分速度大小相等，聯立方程求出v_B的表達式，再利用數學知識求解最小值，即可求解．

解答：解：（1）A球著地時，B球的速度為0．
設此時A球速度為v，由系統機械能守恒得：m_AgL=

1

2

m_Av²，①
解得：v=

2gL

（2）設桿與豎直方向間夾角為θ，B球的速度為v_B，此時A球的速度為v_A，則有：
  m_AgL（1-cosθ）=

1

2

m_Av

2 A

+

1

2

m_Bv

2 B

  ②
且v_A和v_B沿桿方向上分速度大小相等，即 v_Acosθ=v_Bsinθ ③
聯立解得：v_B=

2gL(1-cosθ)cos2θ

  ④
令y=（1-cosθ）cos²θ，當y的導數y′=0時，A球機械能最小，v_B達最大值，即
sinθcos²θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0 ⑤
解得cosθ=

2

3

，
由④解得，v_B的最大值為

2

3

2 3 gL

由②得A球機械能最小值為E_Amin=m_AgLcosθ+

1

2

m_Av

2 A

=m_AgL-

1

2

mB

v

2 B

聯立解得E_Amin=

23mAgL

27

故答案為：

2gL

，

23mAgL

27

．

點評：本題關鍵分析清楚物體B的運動情況，然后結合機械能守恒定律和運動關系并結合數學知識分析，難度較大．