Question

如圖（甲）所示，有一根玻璃管，內徑為d，外徑為2d，折射率為n=

3

，圖（乙）是它的截面．有一束光線從玻璃管的外側面上的A點垂直于玻璃管中心軸線射入，如圖（乙）所示．
（1）試求入射角α應滿足什么條件才能使該光線不會進入玻璃管中間的空心部分；
（2）若入射角α為60°，則有無光線從玻璃管的外壁射出玻璃管？如果有，請求出有光線射出的位置有幾處，并求各處射出的光線與A點入射光線的夾角多大？如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據折射定律和全反射的條件，結合幾何關系求出α角滿足的條件．
（2）當光線從玻璃管內射到玻璃管的外壁時，若入射角大于臨界角，會發生全反射，將不能從玻璃管的外壁射出玻璃管，根據臨界角公式sinC=

1

n

，求出臨界角的范圍，由折射定律求出折射角，運用幾何知識和產生全反射的條件進行判斷．并求出各處射出的光線與A點入射光線的夾角．

解答：解：（1）設光進入玻璃管的折射角為θ，射向內表面的折射角為β，據折射定律有：n=

sinα

sinθ

得：sinα=nsinθ；
要使光線不會進入玻璃管中間空心部分，則光線在內側表面發生全反射，有：sinβ≥

1

n

；
據正弦定律有：

2sinθ

d

=

sinβ

d

；解得：sinα≥

1

2

；
所以：α≥30°．
（2）設光從玻璃到空氣臨界角為C，有：sinC=

1

n

=

3

3

得：30°＜C＜45°；
設光進入玻璃管時折射角為θ，射向內表面的入射角為β．
據折射定律有：sinα=nsinθ，得θ=30°；
此時光線剛好與玻璃內表面相切，光照射到外表面時的入射角β為30°，因30°＜C＜45°，可知入射角β小于C，則有光射出玻璃管．
由光路可逆分析，折射光線對應的折射角為60°，此時射出的光線2與A點入射光線1的夾角為60°；在此位置有部分光線發生反射，再在另一位置出射，其入射角為30°，對應的折射角為60°，此時射出的光線3與A點入射光線1的夾角為180°；還有部分光線進一步發生反射在A點處出射，此時射出的光線4與A點入射光線1的夾角為60°．
故有光線射出的位置有三處，各處射出的光線與A點入射光線的夾角分別為：第一處60°（或120°）；第二處180°；第三處60°（或120°）．
答：（1）入射角α應滿足α≥30°，光線不會進入玻璃管中間的空心部分．
（2）有光線從玻璃管的外壁射出玻璃管，且有光線射出的位置有三處，各處射出的光線與A點入射光線的夾角分別為：第一處60°（或120°）；第二處180°；第三處60°（或120°）．

點評：本題考查了光的折射、全反射的知識，能正確利用幾何知識是解決此類問題的關鍵．