Question

今年春節(jié)前后，我國南方大部分省區(qū)遭遇了罕見的雪災，此次災害過程造成17個省（區(qū)、市、兵團）不同程度受災．尤其是雪災天氣造成輸電線被厚厚的冰層包裹（如圖甲），使相鄰兩個鐵塔間的拉力大大增加，導致鐵塔被拉倒、壓塌（如圖乙），電力設施被嚴重損毀，給這些地方群眾的生產生活造成了極大不便和巨大損失．
當若干相同鐵塔等高、等距時，可將之視為如圖所示的結構模型．已知鐵塔（左右對稱）質量為m，塔基寬度為d．相鄰鐵塔間輸電線的長度為L，其單位長度的質量為m₀，輸電線頂端的切線與豎直方向成θ角．已知冰的密度為ρ，設冰層均勻包裹輸電線上，且冰層的橫截面為圓形，其半徑為R（輸電線的半徑可忽略）．

（1）每個鐵塔塔尖所受的壓力將比原來增大多少？
（2）被冰層包裹后，輸電線在最高點、最低點所受的拉力大小分別為多少？
（3）若某鐵塔一側的輸電線在頂端斷裂，該鐵塔由于受力不對稱，會造成該塔以塔基另一側與地面的接觸點為軸旋轉翻倒．已知地面對塔基的最大拉力為F（該力可簡化為作用點位于塔基中心、方向豎直向下的拉力），設鐵塔包裹冰前后的質量之比與輸電線包裹冰前后的質量之比相同，要使鐵塔不致翻倒，輸電線上包裹的冰層半徑R的最大值R_max為多少？

Answer 1

分析：（1）塔尖受到的壓力來自于左右兩邊的各一半導線上的重力，即為一根導線上的增加的重力；
（2）分別對導線最高點及最低點受力分析，由共點力的平衡可得出導線受到的拉力，注意在最高點時選取整根導線分析，而最低點時只選取一半導線進行分析；
（3）根據力矩平衡條件列式求解即可．

解答：解：（1）輸電線線冰層的體積V_冰=πR²L   
由對稱關系可知，塔尖所受壓力的增加值等于一根導線上冰層的重力，即
△N=ρV_冰g=πρR²Lg   
（2）輸電線與冰層的總質量M'=m₀L+πρR²Lg，輸電線受力如圖甲所示．
由共點力的平衡條件，得2F₁cosθ=m₀Lg+πρR²Lg   
輸電線在最高點所受的拉力F1=

m0+πρR2

2cosθ

Lg
半根輸電線的受力如圖乙所示．
由共點力的平衡條件，得F₂=F₁sinθ   
輸電線在最低點所受的拉力F2=

m0+πρR2

2

Lgtanθ

（3）設鐵塔被冰包裹后的質量為m'，則m′=

m0+πρR2

m0

m
鐵塔即將翻倒時受力如圖丙所示．
以塔基的最右端為轉軸，R取最大值時：(m′g+F)?

d

2

=F1′sinθ?H
又F₁'=F₁，聯(lián)立各式，得Rmax=

(mg+F)d-m0LgHtanθ πρg(LHtanθ- md m0 )

答：（1）每個鐵塔塔尖所受的壓力將比原來增大πρR²Lg；
（2）冰層包裹后，輸電線在最高點的拉力F1=

m0+πρR2

2cosθ

Lg、最低點所受的拉力F2=

m0+πρR2

2

Lgtanθ；
（3）輸電線上包裹的冰層半徑R的最大值為Rmax=

(mg+F)d-m0LgHtanθ πρg(LHtanθ- md m0 )

．

點評：本題考查學生在生活實際中應用物理規(guī)律的能力，本題要注意靈活選擇研究對象進行受力分析，再應用共點力的平衡求解．