Question

在一次國際城市運動會中，要求運動員從高H為2m的平臺上A點由靜止出發，沿著動摩擦系數為0.2的滑道向下運動到B點后經過小圓弧（速度無損失）水平滑出，最后落在水池中．設滑道的水平距離L為1m，B點的高度h可由運動員自由調節（取g=10m/s²）．不計空氣阻力．求
（1）當h=1m時，運動員從B點飛出的速度大小？
（2）運動員要達到最大水平運動距離，B點的高度h應調為多大？落水點與A點的最大水平距離Smax為多少？

Answer 1

分析：（1）運動員在滑道上有重力和摩擦力做功，求出兩力的功由動能定理可求得運動員到達B點的速度；
（2）設B點的高度為h，運動員從B開始做平拋運動，由動能定理和平拋運動的規律可得出水平距離的表達式，則數學知識可得出最大水平距離及B的高度．

解答：解：從A到B，由幾何關系可知運動員下降的高度為h′=H-h=1m；
斜面的傾角為tanθ=1，θ=45°； 斜面長度L₁=

L cosθ

=

2

m
故重力做功W_G=mgh′=10m；
摩擦力做功W=μmgL₁cosθ=0.2×10×

2

2

m=2m；
由動能定理可知：
10m-2m=

1

2

mv²；
解得：v=4m/s；
（2）設B點高度為h，則有動能定理可得：
mg（H-h）-μmgL₁cosθ=

1

2

mv²
即：mg（H-h）-μmgL=

1

2

mv²；
v=

2g(H-h)-2μgL

；
運動員離開B后做平拋運動，則由平拋運動的規律可知：
h=

1

2

gt²；
解得：t=

2h g

水平方向上有：
s=vt=

2g(H-h)-2μgL

×

2h g

=2

h(H-h -μL)

由數學知識可知，當2h=H-μL時s最大，即h=

H-μL

2

=0.9m；最大值為H-μL
則距A點的最大值為S_max=L+H-μL=1+（2-0.2×1）=2.8m
答：（1）運動員從B點飛出的速度為4m/s；
（2）當B點距水面0.9m時，水平距離最大，最大值為2.8m

點評：物體在恒力作用下可由動能定理求解也可由牛頓第二定律求解，但若為變力做功時，一定要全程由動能定理求解．本題為高考變形題，難點在于數學知識的應用，平時學習中要注意數學知識的積累．