Question

兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)繞地球做勻速圓周運動，地球半徑為R，a衛(wèi)星離地面的高度為R，b衛(wèi)星離地面的高度為3R，則a、b兩衛(wèi)星周期之比多大？若某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面上同一點的正上方，a衛(wèi)星至少經(jīng)過多少個周期兩衛(wèi)星相距最遠？

Answer 1

分析：衛(wèi)星做速圓周運動，根據(jù)開普勒第三定律--周期定律可求周期之比．某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面上同一點的正上方，當(dāng)兩顆衛(wèi)星轉(zhuǎn)動角度相差π時，相距最遠．

解答：解：（1）由題兩衛(wèi)星的軌道分別為 R_a=2R，R_b=4R
由開普勒行星運動規(guī)律

R3

T2

=k，k相同，則得

R 3 a

T 2 a

=

R 3 b

T 2 b

所以T_a：T_b=

R

3 2 a

：

R

3 2 b

=1：2

2

 
（2）設(shè)經(jīng)過t時間 二者第一次相距最遠，若兩衛(wèi)星同向運轉(zhuǎn)，此時a比b多轉(zhuǎn)π角度，
則 

2π

Ta

?t-

2π

Tb

?t=π
這段時間a經(jīng)過的周期數(shù)為n=

t

Ta

解得，n=

4+ 2

7

若衛(wèi)星反向運轉(zhuǎn)，則

2π

Ta

?t′+

2π

Tb

?t′=π
這段時間a經(jīng)過的周期數(shù)為n′=

t′

Ta

解得，n′=

4- 2

7

答：a、b兩衛(wèi)星周期之比為1：2

2

，若某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面上同一點的正上方，a衛(wèi)星至少經(jīng)過

4+ 2

7

或

4- 2

7

個周期兩衛(wèi)星相距最遠．

點評：本題既可應(yīng)用萬有引力提供向心力求解，也可應(yīng)用開普勒行星運動定律求解，以后者較為方便，兩衛(wèi)星何時相距最遠的求解，要分同向運轉(zhuǎn)與反向運轉(zhuǎn)兩種情形，用到的數(shù)學(xué)變換相對較多，增加了本題難度．