Question

如圖所示，真空中兩平行金屬板A、B長L₁=0.10m，間距d=

3

30

m，兩極板接在電壓U_AB=200sinl00πt（V）的交流電源上，與AB板相距L₂=0.20m的PS右側區間有一個范圍足夠大的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度為B=

3

×l0^-2T．一束帶正電的粒子以V_o=

3

×10⁵m/s的速度沿著A，B兩極板的中央飛入電場，粒子的比荷q/m=1×l0⁸C/kg，不計粒子的重力和粒子間的相互作用力，不考慮相對論效應．問：
（1）通過計算說明，帶電粒子經過平行金屬板期間，加在兩板間的電壓幾乎不變；
（2）在t=0時刻進入電場的粒子，飛離磁場時離O點的距離；
（3）何時進入電場的粒子，從進入電場到離開磁場所經歷的時間最長？并計算最長時間．

Answer 1

分析：（1）粒子在水平方向上勻速直線運動，由運動學公式可求得運動時間t₀，與周期T比較可求證．
（2）在t=0時刻射入電場的帶電粒子，在電場中做勻速直線運動，進入磁場做圓周運動，垂直邊界進入磁場，知運動半個圓周射出，飛離磁場時離O點的距離為2R．
（3）要使粒子運動時間最長，則粒子在磁場中轉過的圓心角應最大；由幾何關系可知，當粒子的軌跡與PQ相切時，其運動時間最長．

解答：解：（1）粒子飛越電場的時間t₀=

L1

v0

代入數據求得t₀=(

3

3

)×10-6s，
周期T=0.02s
由此得到：粒子飛越電場的時間遠遠小于交變電壓變化的時間，即粒子飛越的時間里板間電壓幾乎不變．
（2）在t=0時刻進入電場的粒子，飛離磁場時離O點的距離；
（2）當t=0時，U_AB=0，粒子做勻速直線運動，從O點進入磁場，洛倫茲力提供向心力，
即qv₀B=

m v 2 0

R

，
得：R=

mv0

qB

=

3 ×105

108× 3 ×10-2

=0.1m
飛離磁場時與O點的距離h=2R=0.2m
（3）設AB間電壓為U₀時，粒子從板邊緣飛出，側移量為

d

2

            

d

2

=

qU0 L 2 1

2md v 2 0

，
所以：U₀=

md2 v 2 0

qL21

解得：U₀=100V＜200V
說明從進入電場到出磁場的時間最長的粒子，就是電壓為100V時從B板邊緣飛出的粒子
將U₀代入U_AB=200sinl00πt（V）
得t=（

1

6

+2n）×10^-2s       n=0、1、2…
粒子在進入磁場前的飛行時間t₁=

L1+L2

v0

，代入數據解得t₁=

3

×10^-6s
離開電場是速度偏角tanθ=

vy

vx

=

at1

v0

=

qU0

md

?

L1

v0

?

l

v0

=

d

L1

，代入數據得tanθ=

3

3

，所以θ=30°
粒子在磁場中運動的周期T=

2πm

qB

，飛行時間t₂=

240°

360°

T=

4πm

3qB

總時間t=t₁+t₂，代入t₁、t₂得t=

3

(1+

4π

9

)×10-6s
答：（1）答案如上所述；
（2）在t=0時刻進入電場的粒子，飛離磁場時離O點的距離；
（3）電壓為100V時從B板邊緣飛出的粒子是從進入電場到出磁場的時間最長的粒子
  最長時間

3

(1+

4π

9

)×10-6．

點評：解決本題的關鍵理清粒子在電場中和磁場中的運動軌跡，結合運動學公式、牛頓第二定律和動能定理進行求解．