Question

（2008?四川）兩個可視為質點的小球a和b，用質量可忽略的剛性細桿相連，放置在一個光滑的半球面內，如圖所示．己知小球a和b的質量之比為

3

，細桿長度是球面半徑的

2

倍．兩球處于平衡狀態時，細桿與水平面的夾角θ是（　�。�

A．45°

B．30°

C．22.5°

D．15°

Answer 1

分析：分別對兩小球受力分析，由彈力的特點確定彈力的方向，由共點力的平衡可條件可得出桿對球的彈力，由幾何關系求得球面對小球的作用力．再對整體由整體法可得出夾角．

解答：解：設細桿對兩球的彈力大小為T，小球a、b的受力情況如圖所示，
其中球面對兩球的彈力方向指向圓心，即有cos α=

2 R 2

R

=

2

2

解得：α=45°
故F_Na的方向為向上偏右，即β₁=

π

2

-45°-θ=45°-θ
F_Nb的方向為向上偏左，即β₂=

π

2

-（45°-θ）=45°+θ
兩球都受到重力、細桿的彈力和球面的彈力的作用，過O作豎直線交ab于c點，設球面的半徑為R，由相似三角形可得：

mag

OC

=

FNa

R

mbg

OC

=

FNb

R

解得：F_Na=

3

F_Nb；
取a、b及細桿組成的整體為研究對象，由平衡條件得：水平方向上有：
F_Na?sin β₁=F_Nb?sin β₂
即 F_Na?sin（45°-θ）=F_Nb?sin（45°+θ）
解得：θ=15°．
故選D．

點評：①利用平行四邊形（三角形）定則分析物體的受力情況屬于常見方法，掌握好這種方法的關鍵在于深刻地理解好“在力的圖示中，有向線段替代了力的矢量”
②在理論上，本題也可用隔離法分析小球a、b的受力情況，根據正交分解法分別列平衡方程進行求解，但是求解三角函數方程組時難度很大．故本題采用了水平向上由整體列平衡方程求解的方法．