Question

19．下暴雨時，有時會發生山體滑坡或泥石流等地質災害．某地有一傾角為θ=37°（sn37°=0.6 cos37°=0.8）的山坡C，上面有一質量為2m的石板B，其上下表面與斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均處于靜止狀態，如圖所示．假設某次暴雨中，A浸透雨水后總質量為m（可視為質量不變的滑塊），在極短時間內，A、B間的動摩擦因數μ₁減小為$\frac{3}{8}$，B、C間的動摩擦因數μ₂減小為0.5，A、B開始運動．已知A開始運動時，A離B下邊緣的距離l=12m，C足夠長．取重力加速度大小g=10m/s²．
求：
（1）A和B加速度的大小
（2）A在B上運動的時間．

Answer 1

分析 （1）對A、B受力分析，根據牛頓第二定律可以求出加速度的大小；
（2）根據A、B的加速度的大小，利用速度時間的關系式和它們之間的距離可以計算時間的大小．

解答 解：（1）對A和B分別進行受力分析，A和B的受力如圖所示，

其中f₁、N₁是A與B之間的摩擦力和正壓力的大小，f₂、N₂是B與C之間的摩擦力和正壓力的大小，方向如圖所示．
由滑動摩擦力公式和力的平衡條件得
f₁=μ₁N₁ ①
N₁=mgcosθ      ②
f₂=μ₂N₂ ③
N₂=N₁+2mgcosθ    ④
規定沿斜面向下為正，設A和B的加速度分別為a₁和a₂，
由牛頓第二定律得
mgsinθ-f₁=ma₁ ⑤
2mgsinθ+f₁-f₂=2ma₂ ⑥
聯立①②③④⑤⑥式，并代入題給的條件得：a₁=3m/s²  a₂=1.5m/s²
（2）由運動學公式得：${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$；${s}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
由題意得：s₁-s₂=12
聯立以上各式可得：t=4s
答：（1）A和B加速度的大小分別是3m/s²  和1.5m/s²；
（2）A在B上運動的時間是4s．

點評 本題是對牛頓第二定律和運動學公式的綜合的應用，分析清楚物體的運動的情況和受力的情況，根據運動學的公式來求解，本題的難度比較大．