Question

雨點在下落過程中受到的空氣阻力與雨點的橫截面積S成正比，與雨點下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k為比例系數）．雨點接近地面時近似看做勻速直線運動，重力加速度為g．若把雨點看做球形，其半徑為r，球的體積為

4

3

πr³由，設雨點的密度為ρ，求：
（1）每個雨點最終的運動速度△v=0（用r、g、k表示）；
（2）雨點的速度達到△v=0時，雨點的加速度a為多大？

Answer 1

（1）當f=mg時，雨點達到最終速度v₁，則：
  kSv₁²=ρ?

4

3

πr3g
又S=πr²
解得，v₁=

4ρrg 3k

（2）當雨點的速度達到v時，根據牛頓第二定律得：
  mg-kSv²=ma
又m=ρ?

4

3

πr3
解得，雨點的加速度a=g-

3kv2

4ρr

答：
（1）每個雨點最終的運動速度為

4ρrg 3k

；
（2）雨點的速度達到v時，雨點的加速度a為g-

3kv2

4ρr

．