Question

6．一質量M=2m、長為L的長木板固定在水平地面上，一質量為m的小滑塊以水平速度v₀從長木板的一端開始在木板上滑動，最終恰好離開木板．
（1）試求小滑塊與長木板間的動摩擦因數μ．
（2）若把該長木板靜止放在光滑水平地面上，則小滑塊至少要以多大的初速度v從長木板的一端開始在長木板上滑動，才能離開長木板．

Answer 1

分析 （1）以物塊作為研究對象，對物塊進行受力分析，對物塊應用牛頓第二定律結合運動學規律解決；
（2）分別對木板和物塊進行受力分析，對木板和物塊分別應用牛頓第二定律結合運動學規律，最后利用滑離木板的臨界條件，找到二者位移滿足的關系，即：共速時，二者相對位移等于木板長度，由此求解初速度的最小值．

解答 解：（1）設摩擦力大小為f，支持力大小為F_N，重力加速大小為g，小物塊的加速度為a₁
 小物塊受力情況如圖所示，
在豎直方向小滑塊受力平衡：mg=F_N
根據滑動摩擦公式：f=μF_N
在水平方向對小物塊運用牛頓第二定律：f=ma₁ 
在水平方向對小物塊運用運動學規律：-2a₁L=0-v₀²
聯立以上各式可得：μ=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2gL}$；
（2）離開長木板的條件是恰好共速時離開木板．畫出運動過程圖如圖所示，
設開始運動到共速，物塊的位移為x₁，木板的位移為x₂，木板受摩擦力為f′，最終二者共同的速度為v_共，從開始運動到共速的時間為t
 小物塊做勻減速直線運動，木板做勻加速直線運動
小物塊受力情況與（1）相同，所以此過程小物塊加速度的大小仍為a₁=μg①
對木板受力分析，水平方向對其運用牛頓第二定律：f′=Ma₂  
牛頓第三定律得：f′=f，可求a₂=$\frac{1}{2}$μg②
對木板和小物塊分別運用勻變速直線運動，木板：v_共=a₂t ③小物塊：v_共=v-a₁t ④
由①②③④式聯立可得：v_共=$\frac{1}{3}$v⑤
對木板和小物塊分別運用勻變速直線運動，木板：2a₂x₂=v_共²⑥小物塊：-2a₁x₁=v_共²-v²⑦
小物塊恰好離開長木板時滿足：x₁-x₂=L⑧
第一問結果與①②⑤⑥⑦⑧式聯立得：v=$\frac{\sqrt{6}}{2}{v}_{0}$．
答：（1）小滑塊與長木板間的動摩擦因數為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2gL}$；
（2）若把該長木板靜止放在光滑水平地面上，則小滑塊至少要以初速度$\frac{\sqrt{6}}{2}{v}_{0}$從長木板的一端開始在長木板上滑動，才能離開長木板．

點評 對于牛頓第二定律的綜合應用問題，關鍵是弄清楚物體的運動過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運動學的計算公式求解加速度，再根據題目要求進行解答；知道加速度是聯系靜力學和運動學的橋梁；此題難度不大，牢記離開木板的臨界條件；第二問也可以用動量守恒定律結合動能定理的整體法去解決．