Question

（2013?黃山模擬）如圖所示，在直角坐標系的第Ⅰ象限中，OP檔板與y軸之間存在方向豎直向上的大小未知的勻強電場，OP與x軸正方向夾角為45⁰．在第Ⅲ象限存在著垂直紙面向里的勻強磁場B₁，有一個電子從y軸負方向的M點以與y軸正方向成30⁰的初速度v進入第Ⅲ象限．已知OM=L，電子的電荷量為e，質量為m，不考慮重力和空氣阻力．求：
（1）為使電子在第Ⅲ象限做勻速直線運動，可在第Ⅲ象限另加入一勻強電場E，求勻強電場E的大小方向
（2）電子從第Ⅲ象限做勻速直線運動進入第Ⅱ象限，若第Ⅱ象限也存在一個垂直紙面向里的大小未知的勻強磁場B₂，恰好讓電子垂直打在y軸正方向上的N點（圖中未標出）求B₂的大小N點的坐標．
（3）電子最終垂直打在OP擋板上的Q點（圖中未畫出）求電子從M點運動到Q點的總時間．

Answer 1

分析：（1）當電子所受的電場力與洛倫茲力平衡，則電子做勻速直線運動．根據平衡求出勻強電場的場強大小，結合左手定則判斷出洛倫茲力方向，從而確定電場強度的方向．
（2）結合幾何關系求出粒子在第二象限內做圓周運動的半徑，結合洛倫茲力提供向心力，求出磁感應強度的大小，結合幾何關系求出N點的坐標．
（3）電子在第三象限內做勻速直線運動，在第二象限內做勻速圓周運動，在第一象限內做類平拋運動，結合運動學公式和在磁場中運動的周期公式，求出電子從M點運動到Q點的總時間．

解答：解：（1）電子受電場力和洛倫茲力平衡，有：eE=evB   ①
解得E=vB．②
電場力的方向與洛倫茲力方向相反，洛倫茲力方向與y軸正方向成60°角，則電場力方向與該方向相反，由于粒子帶負電，則電場強度的方向與y軸正方向成60°角．
（2）由幾何關系可知，電子在第二象限內做圓周運動的半徑R=

Ltan30°

cos30°

=

2

3

L    ③
由牛頓第二定律得，evB2=m

v2

R

     ④
由③④得：B2=

3mv

2eL

．
再由幾何關系得，y=R+Rsin30°=L．   ⑤
（3）電子在第三象限內運動的時間t1=

L

vcos30°

=

2 3 L

3v

   ⑥
電子在磁場中運動的周期T=

2πm

eB2

．，在第二象限內做圓周運動的圓心角為120度．
電子在第二象限內運動的時間t2=

T

3

=

2πm

3eB2

=

4πL

9v

   ⑦
設電子在第一象限內運動的時間為t₃，則由平拋運動的知識可知，在Q點時，
v_x=v_y=v   ⑧
L-

vy

2

t3=vt3   ⑨
由⑧⑨可得，t3=

2L

3v

    ⑩
綜合⑥⑦⑩可得，t=(

6 3 +6+4π

9

)

L

v

．
答：（1）勻強電場E的大小E=vB，方向與y軸正方向成60°角．（2）B₂的大小為B2=

3mv

2eL

，N點的縱坐標為L．（3）電子從M點運動到Q點的總時間為t=(

6 3 +6+4π

9

)

L

v

．

點評：處理帶電粒子在磁場中運動，關鍵確定圓心、半徑，從而結合周期公式和半徑公式進行求解，處理帶電粒子在電場中做類平拋運動，關鍵將運動分解為沿電場方向和垂直電場方向，理清運動規律，結合運動學公式進行求解．