Question

如圖所示，兩根平行長直金屬導軌傾斜放置，導軌平面與水平面的夾角為θ，導軌的間距為L，兩導軌上端之間接有阻值為R的電阻．質量為m的導體棒ab垂直跨接在導軌上，接觸良好，導體棒與導軌間的動摩擦因數為μ，導軌和導體棒的電阻均不計，且．在導軌平面上的矩形區（如圖中虛線框所示）域內存在著勻強磁場，磁場方向垂直導軌平面向上，磁感應強度的大小為B．當磁場以某一速度沿導軌平面勻速向上運動時，導體棒以速度v₀隨之勻速向上運動．設導體棒在運動過程中始終處于磁場區域內．求：
（1）通過導體棒ab的電流大小和方向；
（2）磁場運動的速度大小；
（3）維持導體棒勻速向上運動，外界在時間t內需提供的能量是多少？

Answer 1

分析：（1）導體棒勻速向上運動，受力平衡，導體棒所受的安培力沿斜面向上，根據平衡條件列式求解電流大小，由左手定則判斷電流的方向；
（2）導體棒與磁場的相對速度大小為磁場與導體棒速度之差v-v₀，導體棒產生的感應電動勢為E=BL（v-v₀），電流I=

E

R

，安培力F=BIL，聯立可求出磁場的速度v；
（3）為維持導體棒勻速向上運動，外界提供的能量一部分轉化為電阻R中的焦耳熱，一部分克服摩擦力和重力做功．由焦耳定律求出電阻R中的焦耳熱，根據能量守恒求解外界在時間t內需提供的能量．

解答：解：（1）導體棒ab做勻速運動，受力平衡，設通過導體棒的電流為I，則
  BIL=μmgcosθ+mgsinθ                                 
解得 I=

mg

BL

(μcosθ+sinθ)
導體棒所受的安培力沿斜面向上，由左手定則判定，電流的方向由b到a     
（2）當導體棒以恒定速度v₀勻速運動時，設磁場運動的速度為v
則 導體棒產生的感應電動勢 E=BL（v-v₀）                                                 
通過導體棒的電流I=

E

R

導體棒受到的安培力F=BIL                                         
聯立解得  v=

mgR(μcosθ+sinθ)

B2L2

+

v

0

（3）為維持導體棒勻速向上運動，外界提供的能量一部分轉化為電阻R中的焦耳熱，一部分克服摩擦力和重力做功．
在時間t內產生的焦耳熱Q=I²Rt=

m2g2(μcosθ+sinθ)2Rt

B2L2

在時間t內導體棒上滑的距離s=v₀t
克服摩擦力和重力做功W_克=mg（μcosθ+sinθ）s
在時間t內外界提供的能量   E=Q+W_克                        
解得E=

m2g2(μcosθ+sinθ)2Rt

B2L2

+mg(μcosθ+sinθ)v0t
答：（1）通過導體棒ab的電流大小為

mg

BL

(μcosθ+sinθ)，電流的方向由b到a；
（2）磁場運動的速度大小是

mgR(μcosθ+sinθ)

B2L2

+v0；
（3）維持導體棒勻速向上運動，外界在時間t內需提供的能量是

m2g2(μcosθ+sinθ)2Rt

B2L2

+mg(μcosθ+sinθ)v0t．

點評：本題的解題關鍵是求感應電動勢，要注意導體棒與磁場有相對運動，同向運動時，導體棒相對于磁場的速度為兩者之差，進而求出感應電動勢．