Question

18．一橡皮球從高h(yuǎn)處自由落F，當(dāng)它著地時(shí)又有第二個(gè)橡皮球從同一點(diǎn)自由落下．假設(shè)第一個(gè)橡皮球落地時(shí)豎直跳起的速度是落地時(shí)速度的$\frac{1}{p}$，那么在第二個(gè)小球下落后經(jīng)多少時(shí)間在多高地方兩球相遇（略去小球撞地的時(shí)間）？并討論p的取值范圍和相遇時(shí)兩小球的運(yùn)動(dòng)情況．

Answer 1

分析 抓住兩球在空中相遇，結(jié)合位移關(guān)系求出時(shí)間的表達(dá)式，抓住相遇的時(shí)間小于反彈做豎直上拋運(yùn)動(dòng)到達(dá)地面的時(shí)間，求出p的取值范圍．

解答 解：設(shè)第一個(gè)球落地時(shí)的速度大小為v，根據(jù)速度位移公式得  v=$\sqrt{2gh}$
反彈的速度大小 v′=$\frac{v}{p}$=$\frac{\sqrt{2gh}}{p}$
設(shè)第一個(gè)球著地后經(jīng)過t時(shí)間兩球在空中相遇，則有：
   v′t-$\frac{1}{2}$gt²+$\frac{1}{2}$gt²=h
則得 t=$\frac{h}{v′}$=$\frac{ph}{v}$=p$\sqrt{\frac{h}{2g}}$．
相遇點(diǎn)的高度 h′=h-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=h（1-$\frac{{p}^{2}}{4}$）
第一個(gè)球著地后在空中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間 t′=$\frac{2v′}{g}$=$\frac{2v}{pg}$=$\frac{2\sqrt{2gh}}{pg}$
當(dāng)0＜t＜$\frac{v′}{g}$時(shí)，兩球在第一個(gè)球上升的過程中相遇，即有 0＜p$\sqrt{\frac{h}{2g}}$＜$\frac{v′}{g}$，解得0＜p＜$\sqrt{2}$．
當(dāng)t=$\frac{v′}{g}$時(shí)，兩球在第一個(gè)球上升到最高點(diǎn)時(shí)相遇，即有 p$\sqrt{\frac{h}{2g}}$=$\frac{v′}{g}$，解得  p=$\sqrt{2}$．
當(dāng)$\frac{v′}{g}$＜t＜$\frac{2v′}{g}$時(shí)，兩球在第一個(gè)球下落的過程中相遇，即有 $\frac{v′}{g}$＜p$\sqrt{\frac{h}{2g}}$＜$\frac{2v′}{g}$，解得 $\sqrt{2}$＜p＜2．
答：在第二個(gè)小球下落后經(jīng)p$\sqrt{\frac{h}{2g}}$時(shí)間在h（1-$\frac{{p}^{2}}{4}$）高地方兩球相遇．當(dāng)0＜p＜$\sqrt{2}$時(shí)，兩球在第一個(gè)球上升的過程中相遇．當(dāng)p=$\sqrt{2}$時(shí)，兩球在第一個(gè)球上升到最高點(diǎn)時(shí)相遇．當(dāng)$\sqrt{2}$＜p＜2時(shí)，兩球在第一個(gè)球下落的過程中相遇．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道自由落體運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住位移關(guān)系，根據(jù)時(shí)間關(guān)系進(jìn)行求解．