Question

有一質量為m=0.2kg的小球，從水平軌道上的A點出發，經過一段橫截面是圓形、內部光滑的固定管道后離開管道（小球半徑略小于管道內徑），管道由呈拋物線狀的BC段、呈圓形的CDE和呈1/4圓形的EF段組成，C點、E點為連接點，E點與圓心O在同一水平線上，CO與水平方向夾角為30°，BC段的高度為h₁=0.2m，CDE和EF段的半徑均為R=0.3m，如圖所示．小球與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.2，AB段長度為l=0.5m，小球半徑和管道的內徑均遠小于上述高度或半徑，管壁厚度不計，所有管道與水平軌道在同一豎直面內，重力加速度g=10m/s²．
（1）若要使小球恰能從管道的F端離開，求小球從A點出發的最小速度；
（2）若小球以最小速度的2倍從A點出發，求小球經過C點的速度和經過最低點D點時小球對管道的壓力；
（3）若要使小球落到離F端水平距離為0.5m的M點，求小球從A點出發的速度為多大？

Answer 1

分析：（1）小球恰能從管道的F端離開，只要小球在管口F端時的速度為零即可，貴A-F過程，根據動能定理可求解
（2）分別對A-C過程和A-D過程應用動能定理可求出C點和D點的速度，根據向心力公式可求得小球對軌道的壓力
（3）由平拋運動規律可求得小球在F點 速度，對A-F過程，根據動能定理可求解

解答：解：（1）由于要求小球恰能從管道的F端離開，只要小球在管口F端時的速度為零即可，設小球從A點出發的最小速度為v₁．
對小球在A-F過程中，由動能定理得：-μmgxAB-mg(R+Rsin30°-h1)=0-

1

2

m

v

2 1

解得：v1=

7

m/s
（2）當小球以最小速度的2倍（2

7

m/s）從A點出發時，設小球經過C點和D點的速度分別為v₂、v₃．
對小球在A-C過程中，由動能定理得：-μmgxAB+mgh1=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m(2v1)2
解得：v2=

30

2

m/s
對小球在A-D過程中，由動能定理得：-μmgxAB+mg(h1+R-Rsin30°)=

1

2

m

v

2 3

-

1

2

m(2v1)2
又：小球在D點受到重力（mg）和軌道的彈力（F_N）作用，這兩個力提供小球做圓周運動向心力．
由向心力公式得：FN-mg=m

v 2 3

R

由上述兩式解得：F_N=13N
所以小球對軌道的壓力大小為13N，方向豎直向下
（3）要使小球落到M點，設小球從A點出發的速度為v₄，當其到在F點時的速度為v₅．
由平拋運動可知：x=v₅t
2R=

1

2

gt2
又小球在A-F過程中，由動能定理得：-μmgxAB-mg(R+Rsin30°-h1)=

1

2

m

v

2 5

-

1

2

m

v

2 4

由上述三式得：v4=

327

6

m/s
答：（1）若要使小球恰能從管道的F端離開，小球從A點出發的最小速度為

7

m/s；
（2）若小球以最小速度的2倍從A點出發，小球經過C點的速度為

30

2

m/s
經過最低點D點時小球對管道的壓力為13N；
（3）若要使小球落到離F端水平距離為0.5m的M點，小球從A點出發的速度為

327

6

m/s

點評：本題主要考查動能定理的應用，根據題目分段列式求解，能力要求較高，題目有一定的難度．