Question

15．如圖所示，水平放置的平行板電容器原來兩板不帶電，上極板接地，它的極板長L=0.1m，兩板間距離d=0.4cm．有一束由相同微粒組成的帶電粒子流以相同的初速度從兩板中央平行于極板射入，由于重力作用粒子能落到下極板上．已知粒子質量m=2.0×10^-6kg，電荷量q=1.0×10^-8C，電容器電容C=1.0×10^-6F．若第一個粒子剛好落到下極板中點O處，取g=10m/s²．求：
（1）帶電粒子入射初速度的大小．
（2）落到下極板上的帶電粒子的總個數．

Answer 1

分析 （1）根據粒子做平拋運動的規律，運用運動的合成與分解，并依據運動學公式，即可求解；
（2）根據牛頓第二定律，結合電場力表達式，與運動學公式，即可求解．

解答 解：（1）對第一個落到O點的粒子：水平方向$\frac{L}{2}={v_0}t$  ①
豎直方向$\fracp9vv5xb5{2}=\frac{1}{2}g{t^2}$   ②
解得${v_0}=\frac{L}{2}\sqrt{\frac{g}p9vv5xb5}=2.5m/s$
（2）設以上述速度入射的帶電粒子，最多能有n個落到下極板上．則第（n+1）個粒子的加速度為a，
由牛頓運動定律得：
mg-qE=ma…③
其中：E=$\frac{U}p9vv5xb5$=$\frac{Q}{Cd}$=$\frac{nq}{Cd}$…④
由③、④得：a=g-$\frac{n{q}^{2}}{Cmd}$…⑤
第（n+1）粒子做勻變速曲線運動
x=v₀t=L
$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得：y=$\frac{1}{2}$（g-$\frac{n{q}^{2}}{Cmd}$）（$\frac{L}{{v}_{0}}$）²；
第（n+1）粒子不落到極板上，則y≤$\fracp9vv5xb5{2}$；
得：$\frac{1}{2}（g-\frac{n{q}^{2}}{Cmd}）（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}≤\fracp9vv5xb5{2}$
因此有：n=$\frac{Cmd}{{q}^{2}}（g-\frac{{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}d）$=$\frac{1{0}^{-6}×2×1{0}^{-6}}{（1{0}^{-8}）^{2}}（10-\frac{2．{5}^{2}}{0．{1}^{2}}×0.4×1{0}^{-2}）$×0.4×10^-2=600個；
答：（1）帶電粒子入射初速度的大小為2.5m/s；
（2）以上述速度入射的帶電粒子，最多能有600個落到下極板上．

點評 考查如何處理平拋運動的思路，掌握運動的合成與分解的方法，理解運動學公式與牛頓第二定律的綜合應用．