Question

14．一帶電質點，質量為m，電荷量為q，以與y軸成30⁰角的速度v從y軸上的a點進入如圖中第一象限所在區域，為了使該質點能從x軸的b點以與x軸成60⁰角的速度射出，可在適當的地方加一個垂直于xoy平面，磁感應強度為B的勻強磁場，若此磁場僅分布在一個圓形區域內．試求這個圓形磁場區域的最小半徑（質點的重力忽略不計）．

Answer 1

分析 由題意分析粒子的運動過程，明確粒子運動可能的軌跡；再根據牛頓第二定律求出半徑；明確圓形磁場區域的最小面積是以磁場中圓周運動軌跡對應弦為直徑的圓．

解答 解：根據牛頓第二定律：qv₀B=m$\frac{v_0^2}{R}$，
則粒子在磁場中做圓周的半徑為：R=$\frac{{m{v_0}}}{qB}$，
根據題意，粒子在磁場區域中的軌道為半徑等于R的圓上的$\frac{1}{3}$圓周，這段圓弧應與入射方向的速度、出射方向的速度相切，如圖所示，
則到入射方向所在直線和出射方向所在直線相距為R的O′點就是圓周的圓心．粒子在磁場區域中的軌道就是以O′為圓心、R為半徑的圓上
的圓弧ef，而e點和f點應在所求圓形磁場區域的邊界上，在通過e、f兩點的不同的圓周中，最小的一個是以ef連線為直徑的圓周．
即得圓形區域的最小半徑為：r=Rsin60°=$\frac{{\sqrt{3}m{v_0}}}{2qB}$，
則這個圓形區域磁場的最小面積為：S_min=πr²=$\frac{3}{4}$π（$\frac{{m{v_0}}}{qB}$）²
答：這個圓形區域磁場的最小面積為$\frac{3}{4}$π（$\frac{{m{v_0}}}{qB}$）²．

點評 本題考查磁場區域面積的極值問題，此題的關鍵是確定出圓心，明確粒子可能的運動軌跡，且從a到b有圓周運動和一段直線運動．