Question

1．如圖為一粗糙的四分之一圓弧軌道，半徑為R，軌道圓心O與A點等高，一質量為m的小球在不另外施力的情況下，能以速度v沿軌道自A點勻速運動到B點，取小球在A點時為計時起點，且此時的重力勢能為零，重力加速度為g，則在此過程中，下列說法正確的是（　�。�

• A． 重力做功的平均功率為$\frac{1}{2}$mgv
• B． 重力做的功等于小球克服摩擦力做的功
• C． 小球重力勢能隨時間的變化關系為E_p=mgRsin$\frac{vt}{R}$
• D． 小球的機械能隨時間的變化關系為E=$\frac{1}{2}$mv²+mgRsin$\frac{vt}{R}$

Answer 1

分析 根據重力做功的大小以及運動的時間，結合平均功率的公式求出重力做功的平均功率．根據動能定理，抓住合力做功為零，得出重力做功與小球克服摩擦力做功的大小關系．根據幾何關系，通過下降的高度求出重力勢能的表達式，抓住機械能等于重力勢能和動能之和得出機械能隨時間變化的表達式．

解答 解：A、重力做功為mgR，小球運動的時間$t=\frac{\frac{πR}{2}}{v}=\frac{πR}{2v}$，則重力做功的平均功率$\overline{P}=\frac{mgR}{t}=\frac{2mgv}{π}$，故A錯誤．
B、小球速度大小不變，根據動能定理知，合力做功為零，由于支持力不做功，則重力做功等于小球克服摩擦力做功的大小，故B正確．
C、經過時間t，下降的高度h=Rsin$\frac{vt}{R}$，則重力勢能隨時間的變化關系為E_p=-mgh=-mgRsin$\frac{vt}{R}$，故C錯誤．
D、小球的機械能E=E_k+E_p=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-$mgRsin$\frac{vt}{R}$，故D錯誤．
故選：B．

點評 解決本題的關鍵知道平均功率和瞬時功率的區別，掌握這兩種功率的求法，以及在求解重力勢能時，注意零勢能平面的選�。�