Question

（10分）如圖所示，遙控電動賽車（可視為質點）從A點由靜止出發，經過時間t后關閉電動機，賽車繼續前進至B點后進入固定在豎直平面內的圓形光滑軌道，通過軌道最高點P后又進入水平軌道CD上。已知賽車在水平軌道AB部分和CD部分運動時受到阻力恒為車重的0.5倍，即k=F_f/mg=0.5，賽車的質量m=0.4kg，通電后賽車的電動機以額定功率P=2W工作，軌道AB的長度L=2m，圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可忽略，取重力加速度g=10m/s²。某次比賽，要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短。在此條件下，求：

（1）小車在CD軌道上運動的最短路程

（2）賽車電動機工作的時間

Answer 1

（10分）解：

（1）要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短，則小車經過圓軌道P點時速度最小，此時賽車對軌道的壓力為零，重力提供向心力：

                                                     （1分）

C點的速度，由機械能守恒定律可得：

                                       

由上述兩式聯立，代入數據可得：v_C=5m/s                          （2分）

設小車在CD軌道上運動的最短路程為x，由動能定理可得：

                                             （2分）

代入數據可得：x =2.5m                                           （1分）

（2）由于豎直圓軌道光滑，由機械能守恒定律可知：v_B = v_C =5m/s      （1分）

從A點到B點的運動過程中，由動能定理可得：

                                             （2分）

代入數據可得：t = 4.5s                                           （1分）